Parte della dimostrazione del gruppo fondamentale di $\mathbb{P}^n(RR)$

[andreadel1988]

Sia $n>= 1$ un intero. Si consideri lo spazio proiettivo reale $n$-dimensionale $\mathbb{P}^n(RR)$. Si consideri il punto $p = [0 : ... : 0 : 1]in\mathbb{P}^n(RR)$ e la $n$-esima carta affine standard $U_n = {[x_0 : ... : x_n]in\mathbb{P}^n(RR)| x_n!=0}$ di $\mathbb{P}^n(RR)$.
Fissato $p_0inU_n\\{p}$, si studi l’omomorfismo di gruppi $f:pi_1(U_n\\{p}, p_0)->pi_1(\mathbb{P}^n(RR)\\{p}, p_0)$ indotto dall’inclusione $U_n\\{p}->\mathbb{P}^n(RR)\\{p}$.
Sappiamo che $U_n\\{p}$ è omotopicamente equivalente a $S^(n-1)$ per cui è semplicemente connesso, ma allora tutti i lacci di $p_0$ sono omotopi al laccio costante $1_{p_0}$ perciò preso $alpha$ un qualunque laccio di $p_0$ si ha che $f([alpha])$ è l'elemento neutro di $pi_1(\mathbb{P}^n(RR)\\{p}, p_0)$.

[megas_archon]

Non è semplicemente connesso se n=2 (e in effetti non è connesso se n=1)

[andreadel1988]

Non è semplicemente connesso se n=2 (e in effetti non è connesso se n=1)

Eh beh hai ragione ahahahha, però facciamo da $n>=3$ che $n=1$ si dimostra che è omeomorfo a $S^1$ il caso $n=2$ lavorando con $D^2$ con antipodalità sul bordo facendo Van Kampen e vedendo che succede a un laccio di un punto dell'intersezione dei due aperti nei due aperti si riesce a dimostrare che il gruppo fondamentale è isomorfo $ZZ_{/2}$

[megas_archon]

Sì, ma questo non è quello che ti chiede la domanda, penso: la domanda ti chiede proprio di dire che per \(n\ge 3\) l'omomorfismo indotto è quello nullo, ed è per \(n=1,2\) che succedono delle cose interessanti.