Gruppo fondamentale del complementare di una retta e una circonferenza

[andreadel1988]

Sia $rsupRR^3$ una retta e sia $CsupRR^3$ una circonferenza. Si ponga $X = RR^3\\(ruuC)$.
Nel caso particolare in cui $r = {(0, 0, z) | zinRR}$ e $C = {(x, y, 0) | x^2 + y^2 = 1}$, si provi che $X$ si retrae per deformazione sul toro $2$-dimensionale ottenuto ruotando la circonferenza ${(x, 0, z)|(x − 1)^2 + z^2 =1/4}$ intorno all’asse $z$. Si determini il gruppo fondamentale di $X$.

Io avevo pensato di fare così: sia $(x',y',0)inC$ consideriamo il semipiano che parte dalla retta $r$ (non inclusa nel semipiano) e che contiene $(x',y',0)$, allora posso retrarre per deformazione il semipiano sulla circonferenza ${(x, y, z)|(x − x')^2 +(y-y')^2+ z^2 =1/4}$. Applico questo procedimento $AA(x',y',0)inC$ e andando a unire tutti i semipiani così ottenuti ottengo $RR^3\\(ruuC)$ perciò se su ogni semipiano applico la retrazione per deformazione associata ottengo che $RR^3\\(ruuC)$ è retratto per deformazione sul toro. Ora scrivere la deformazione esplicitamente non l'ho fatto, se qualcuno l'ha pronta mi fa un enorme piacere, grazie.

[megas_archon]

Scriverla esplicitamente è una fatica inutile (soprattutto, una fatica che una volta fatta ti lascia con una manciata di equazioni e nessuna intuizione spaziale), fai un disegno.