gruppo fondamentale del complementare di due punti in $\mathbb{P}^2(RR)$

[andreadel1988]

Si provi che il gruppo fondamentale del complementare di due punti in $\mathbb{P}^2(RR)$ è il gruppo libero con $2$ generatori.

Abbiamo che $\mathbb{P}^2(RR)$ è omeomorfo a $D^2//~~$ dove $~~$ è la relazione di antipodalità sul bordo. Consideriamo gli aperti $A$ e $B$ nel disegno (la freccia indica la relazione di antipodalità del bordo e $x_0inAnnB$ e $x_1$ sta sul bordo di $D^2$):



Abbiamo che $A$ si retrare per deformazione sul boquet di due circonferenze per cui $pi_1(A,x_0)~=ZZ**ZZ$, poi abbiamo che $B$ si retrare per deformazione sul bordo di $D^2$ e chiamando $alpha$ il laccio che parte da $x_1$ e arriva al punto di metà circonferenza, che rispetto alla relazione $~~$ è $x_1$, si ha che $pi_1(A,x_1)~=ZZ$ (poiche $S^1$ con antipodalità è omeomorfo a $S^1$) con generatore $alpha$, mentre consideriamo il cammino $\delta$ che connette per archi $x_0$ e $x_1$ in $B$ allora $pi_1(A,x_0)~=ZZ$ con generatori $alpha,\delta$. Si ha che $AnnB$ si retrare per deformazione sulla circonferenza che passa per $x_0$, chiamiamo $gamma$ questo laccio di $x_0$, si ha quindi che $pi(AnnB,x_0)~=ZZ$ con generatore $gamma$. Ora ci rimane da studiare l’omomorfismo di gruppi $\pi_1(AnnB, x_0)->pi_1(B, x_0)$ indotto dall’inclusione $AnnB->B$ ovvero studiare il laccio $gamma$ in $B$ ma osserviamo che quest'ultimo è omotopo al laccio $\deltaalpha^2\delta^-1$, ovvero $[gamma]_B=[\deltaalpha^2\delta^-1]_B=[alpha^2]_B$. Per il teoerma di Van Kampen si ha che $pi_1(X,x_0)=(pi_1(A,x_0)**pi(B,x_0))/(text{sottogruppo normale generato da } [gamma]_A*([gamma]_B)^-1 text{al variare di } [gamma] text{ in un insieme
} text{ di generatori di } \pi_1(AnnB,x_0))=$
$(ZZ**ZZ**ZZ)/(<alpha^2|alpha^2=1>)$

[megas_archon]

A me con VC sembra che venga \(\langle a,b,c\rangle/\langle ab=c^2\rangle\), questo è isomorfo a $ZZ \ast ZZ$?

[andreadel1988]

A me con VC sembra che venga \(\langle a,b,c\rangle/\langle ab=c^2\rangle\), questo è isomorfo a $ZZ \ast ZZ$?

Ma hai usato i miei stessi aperti? Forse non ho visto a cosa è omotopo il cammino $gamma$ in $A$ o sbaglio?

[megas_archon]

Ho usato gli stessi aperti.

[andreadel1988]

Ho usato gli stessi aperti.

Ok, se vedi il mio procedimento c è qualcosa di sbagliato? A me l'unica cosa che mi mette in dubbio è di vedere il cammino $gamma$ in $A$ a cosa è omotopo attraverso dei generatori, sfortunatamente in questo caso non si induce un omomorfismo nullo perchè il gruppo fondamentale di $A$ non è banale ma $ZZ**ZZ$

[megas_archon]

Ho l'impressione tu non abbia molto chiaro cosa dice il teorema di VC.

E' una situazione comune, purtroppo; ma questo esempio è particolarmente istruttivo perché è appena sopra il banale, e allo stesso tempo non è troppo complesso.

Gli aperti che consideri sono questi: $U=$un intorno dei due punti che hai tolto, diciamo per semplicità una palla aperta che li contiene; $V=$un intorno di \(U^c\), che interseca $U$ in una corona di raggio \(\epsilon \ll 1\) sufficientemente piccolo. Puoi usare un modello di \(\mathbb{RP}^2\) come quoziente del disco unitario e avere delle coordinate relativamente facili per parametrizzare tutto, ma secondo me è una eminente perdita di tempo: coi disegni si capisce sempre meglio.

Nota che \(U\) ha \(S^1\vee S^1\) come retratto di deformazione forte; $V$ invece ha $S^1$, e l'intersezione anche lei $S^1$. Allora bisogna calcolare il pushout di
\[\begin{CD}
\mathbb Z @>i>> \mathbb Z \\
@VjVV @. \\
\mathbb Z*\mathbb Z
\end{CD}\] L'unica domanda a cui rispondere è: chi sono le mappe $i,j$? Senza rispondere, è impossibile usare il teorema, dato che esso afferma che (ricoprendo uno spazio $X$ con due aperti $U,V$) si ha \(\pi_1(X)\cong \pi_1(U) * \pi_1(V)/\langle i(x)j(x)^{-1}=1\rangle\). Questo è quello che di solito chi studia topologia algebrica non capisce -o non sa come usare.

Se fai un disegno, ti accorgi che il generatore di \(\mathbb Z=\pi_1(U\cap V)\) è un laccio che avvolge il "buco" interno alla corona. Ora devi considerare qual è l'immagine di questo generatore dentro \(\pi_1(U)\) e \(\pi_1(V)\): \(\pi_1(U)\) è generato da 2 elementi $a,b$, e facendo un disegno è evidente che il generatore di \(\pi_1(U\cap V)\) corrisponde all'elemento \(ab\in \pi_1(U)\); per quanto riguarda \(\pi_1(V)\), il generatore $x$ va nel generatore $t$ (e non in $t^2$, come ho detto ieri).

Da questo, deduci che
\[\pi_1(X) \cong \mathbb Z\langle a\rangle * \mathbb Z\langle b\rangle * \mathbb Z\langle t\rangle/\langle ab=t\rangle\] che è esattamente il gruppo libero su due generatori ($a,b$).

All in all, il teorema di VC dice questo: quando cerchi di calcolare \(\pi_1(X)\) come un pushout di gruppi fondamentali di aperti che ricoprono $X$, devi tener conto del fatto che alcuni elementi di \(\pi_1(U\cap V)\), mappati mediante $i$ dentro \(\pi_1(U)\) e mediante $j$ dentro \(\pi_1(V)\), diventano uguali.

Nel tuo caso specifico, è proprio il fatto che dentro \(\pi_1(X)\) si ha che \(ab=t\) a introdurre una relazione non banale, che permette di scrivere ogni parola nel gruppo libero su tre generatori $a,b,t$ come parola in due generatori (perché \(t^n\) verrà sostituto da \(abab\dots ab\) ogni volta che compare in una parola \(w\in \langle a,b,t\rangle\)).

Ovviamente, usando un po' di categorie, la risposta sarebbe stata pressoché immediata e avresti evitato tutti questi disegni e tutti questi ragionamenti: nelle notazioni precedenti, la mappa $i$ è un isomorfismo (il generatore va nel generatore...) e quindi nel pushout
\[ \begin{CD} \mathbb Z @>i>> \mathbb Z \\ @VjVV @VVV \\ \mathbb Z*\mathbb Z @>>> \pi_1(X)\end{CD} \] la freccia orizzontale inferiore deve essere un isomorfismo (questo è un fatto generale, i gruppi e gli spazi non c'entrano nulla: se \(\mathcal C\) è una categoria e il quadrato
\[ \begin{CD} A @>i>> B \\ @VjVV @VVV \\ C @>>i'> D \end{CD} \] è un pushout, se $i$ è un isomorfismo è un isomorfismo pure \(i':C\to D\)). Dimostralo (è una assoluta ovvietà che usa argomenti di algebra 1) e usalo, questo genere di ragionamenti rende molto spesso l'uso del teorema di VC ancora più immediato [e già sapendo usare VC decentemente, la più parte degli esercizi per determinare un gruppo fondamentale sono completamente trivializzati].

[andreadel1988]

Non mi sono chiare due cose: perchè il generatore visto dentro $U$ è omotopo ad $ab$? Intanto chi sono $a$ e $b$, mi verrebbe da dire che se prendi il boquet di due circonferenze intorno ai due punti che togliamo chiami con $a$ il laccio che corrisponde a un giro di una delle due circonferenze mentre $b$ il laccio che corrisponde a un giro dell'altra circonferenza, e poi per dire cheil generatore visto dentro $U$ è omotopo ad $ab$ fi tipo un omotopia (tipo come quella che spiegò il mio professore per mostrare che in $V$ il laccio è omotopo al percorso sulla circonferenza). E poi non ho capito perchè in $V$ hai solo $t$ e non $t^2$ contando che se percorro la circonferenza di $V$ ottengo due volte $t^2$ per l'antipodalità, non capisco. Comunque nel prossima risposta ti faccio un disegno come mi è stato spiegato di omotopizzare i lacci che appena detto

[andreadel1988]

In questo disegno scelgo $gamma$ come generatore in $UnnV$, poi $t$ e il generatore in $V$ dato dall'antipodalità (indicato con una freccia sia sulla semicirconferenza superiore che quella inferiore) e con $a$ e $b$ indico rispettivamente la prima e seconda circonferenza del boquet di due circonferenze in $U$ (mentre le linee rappresentano l'idea di come omotopizzo $gamma$ a quello che abbiamo detto):