Categoria dei sottospazi vettoriali di un $\mathbb{K}$ spazio vettoriale

[andreadel1988]

Sia $\mathbb{K}$ un campo e sia $V$ un $\mathbb{K}$ spazio vettoriale. Si consideri la categoria $C_V$ i cui oggetti sono coppie $(W_1,W_2)$ di sottospazi vettoriali di $V$ tali che $W_1subeW_2$, e i cui morfismi da un oggetto $(W_1,W_2)$ ad un oggetto $(T_1,T_2)$ sono coppie $(g_1,g_2)$ di applicazioni lineari $g_i:W_i->T_i$ tali che $g_{2_{|W_1}}=g_1$. Sia $Vect_{\mathbb{K}}$ la categoria dei $\mathbb{K}$ spazi vettoriali. Si consideri $F:C_V->Vect_{\mathbb{K}}$ il funtore definito da $F($ $(W_1,W_2))=W_2$ e $F((g_1,g_2))=g_2$. Determinare se $F$ sia essenzialmente surriettivo e se sia pieno.

Se ad esempio $V=\mathbb{K}$ allora $Ob(C_V)={({0},{0}),({0},\mathbb{K}),(\mathbb{K},\mathbb{K})}$ e $Mo r_{C_V}={text{l'applicazione lineare nulla da } {0} text{ a } {0} text{ e da } {0} text{ a } \mathbb{K} text{ e le applicazioni lineari }$
$text{da }\mathbb{K} text{ a } \mathbb{K} }$, per cui $Im(F(Ob(C_V))={{0},\mathbb{K}}$ e $Im(F(Mo r_{C_V}))={text{l'applicazione lineare nulla da } {0} text{ a } {0} text{ e da } {0} text{ a } \mathbb{K} text{ e le applicazioni lineari }$
$text{da }\mathbb{K} text{ a } \mathbb{K} }$ quindi ad esempio $\mathbb{K}^2$ non è isomorfo a nessun elemento di $Im(F(Ob(C_V))$ dunque $F$ non è essenzialmente surriettivo e inoltre se considero $Id_{\mathbb{K}^2}$ questa non appartiene a $Im(F(Mo r_{C_V}))$, per cui $F$ non è nemmeno pieno.

[megas_archon]

Quella non è esattamente la definizione di funtore pieno.. In ogni caso, F non è pieno.

[andreadel1988]

Quella non è esattamente la definizione di funtore pieno.. In ogni caso, F non è pieno.

Si, scusami, però effettivamente scelti $W_1,W_2$ e $T_1,T_2$ come descritto nella categoria mi basta prendere $g_2inMo r_{Vect_{\mathbb{K}}}(W_2,T_2)$ non posso porre $g_1=g_{2_{|W_1}}$ così $(g_1,g_2)$ è l'immagine di $g_2$? Però credo che il problema è che non è detto che $g_1$ vada in $T_1$

[andreadel1988]

Prendiamo $V= \mathbb{K}^2$ poniamo $W_1=span{(1,0)}$ e $W_2= \mathbb{K}^2$ e $T_1=span{(0,1)}$ e $T_2= \mathbb{K}^2$
prendiamo $ g_2=Id_{\mathbb{K}^2}inMo r_{Vect_{\mathbb{K}}}(W_2,T_2) $ se ponessi $g_1=g_{2_{|W_1}}$ avrei che $g_1$ non ha come codominio $T_1$ quindi non posso trovare morfismi in $C_V$ che hanno immagine $g_2$