Spazio quoziente su corona circolare

[andreadel1988]

Sia $X={zinCC|1<=|z|<=2}$ munito della topologia euclidea, e si consideri l'azione del gruppo $ZZ$ su $X$ definita da: $p:ZZxxX->X$, $p(n,z)=e^(n*(pii)/3)*z$. Sia $Y$ lo spazio topologico quoziente di $X$ tramite la relazione di equivalenza definita dall'azione $p$ in $ZZ$.
1) Si esibisca esplicitamente un insieme di rappresentati per questa relazione di equivalenza
2) Determinare se $Y$ sia compatto.
3) Determinare se $Y$ sia T2.
4) Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto scelto.

1) ${zinCC|1<=|z|<=2, 0<=arg(z)<pi/3}$ (geometricamente sono le rotazioni di $pi/3$)
2) Siccome $X$ è compatto (chiuso e limitato di $RR^2$) allora anche $Y$ è compatto.
3) $Y$ è omeomorfo a $X$ tramite la funzione $f:Y->X$ definita come $f([z])=|z|e^(6arg(z)i)$, per cui $Y$ è T2.
4) Basta trovare il gruppo fondamentale di $X$, retraendo per deformazione su $S^1$ tramite $R(z,t)=(1-t)z/|z|+tz$ ho che il gruppo fondamentale è $ZZ$.

Tutto giusto?