$Q={(x,y)inRR^2| max{|x|,|y|}<=1}$
$T={(x,y)inRR^2|x<=-2,y>=0,x+y<=-1}$
e sia $X=QuuT$ munito della relazione di equivalenza definita da : $(1,y)~(-1,-y)$ per $yin[-1,1]$, $(x,1)~(-1,-x)$ per $x in[-1,1]$, $(-2,y)~(-1-y,0)$ per $yin[0,1]$, $(-2,y)~(-2+y,1-y)$ per $yin[0,1]$ e dalle relazioni definite dalle proprietà transitivita, riflessiva e simmetrica. Calcolare il gruppo fondamentale di $X//~$ e determinare se si tratti di un gruppo finito.
Il disegno di $X$ con le relazione di equivalenza (le frecce) è questo:
Consideriamo i due aperti $A$ e $B$ e la loro intersezione come nei seguenti disegni e le loro rispettive omotopie (con rispettivi generatori):
per il teorema di van Kampen dato che $AnnB$ è semplicemente connesso allora il gruppo fondamentale di $X//~$ si scrive come prodotto libero del gruppo fondamentale di $A$ e di $B$. Consideriamo una palla aperta interna al triangolo, e il complementare di una palla chiusa interna al triangolo tale che l'intersezione con la prima palla non sia vuota, allora la prima palla ha gruppo fondamentale banale il secondo aperto si retrare sul bordo del triangolo e essendo il bordo del triangolo omeomorfo a $S^1$ ha gruppo fondamentale $ZZ$ con generatore $gamma$, l'intersezione si retrae su una circonfenreza e quindi ha gruppo fondamentale $ZZ$, andando a prendere un generatore nell'intersezione e vedendolo come laccio nel secondo aperto (con il primo si ha l'omomorfismo nullo) si ottiene che esso è omotopo ad $gamma^3$ perciò usando Van Kampen sul triangolo si ottiene che il gruppo fondamentale del triangolo (con le relazioni di equivalenza) è $ZZ/(<gamma|gamma^3=1>$ e questo è isomorfo a $ZZ_(/3)$. Per il quadrato facciamo un ragionamento analogo (con aperti dati sempre da palle aperte e complementari di quelle chiuse) e vedendo il generatore dell'intersezione nell'aperto che si retrae sul bordo del quadrato otteniamo che è omotopo al laccio $alphabeta$ perciò usando Van Kampen sul quadrato si ottiene che il gruppo fondamentale del quadrato (con le relazioni di equivalenza) è $ZZ/(<alpha,beta|alphabeta=1>$ e questo è isomorfo a $ZZ$. Per cui il gruppo fondamentale di $X//~$ è $ZZ**ZZ_(/3)$ che non è finito.
