$p:ZZxxX->X$ dove si ha $p(n;(x,y,z))=(x+n,y,(-1)^nz)$
Si consideri $Y=X//ZZ$ munito della topologia quoziente.
1) Determinare un insieme di rappresentati per la relazione di equivalenza su $X$ indotta dall'azione di $ZZ$
2) Determinare se $Y$ sia compatto
3) Determinare se $Y$ sia T2
4) Calcolare il gruppo fondamentale di $Y$ in funzione del punto scelto (se si desira usare delle equivalenze omotopiche, spiegare in dettaglio quello che intendete fare senza necessariamente dare una dimostrazione formale)
Dato che $y$ rimane invariato nella relazione di equivalenza studiamo cosa succede in particolare nel piano $Oxz$ (le frecce in rosso indicano la relazione di equivalenza):
1) $[0,1)xx[-12,12]xxRR$ è un insieme di rappresentanti, infatti preso $(x,y,z)inX$ allora $(x-\lfloor x\rfloor,y,z)in[0,1)xx[-12,12]xxRR$ (inoltre presi due punti in $[0,1)xx[-12,12]xxRR$ essi non sono equivalenti poichè la differenza fra le ascisse è sempre un numero in $[0,1)$ e quindi non intero).
2)Si consideri la funzione continua $f:X->S^1xx[0,+infty)$ data da $f($ $(x,y,z))=(e^(2piix),|z|)$, essa è suriettiva ed è costante sulle classi di equivalenza, per cui si induce una funzione continua e suriettiva $\bar f:Y->S^1xx[0,+infty)$ per cui se $Y$ fosse compatto allora anche $S^1xx[0,+infty)$ sarebbe compatto, assurdo.
3) Sia $epsilonin(0,1/2)$ e $A=(-epsilon,1)xx[-12,12]xxRR$ aperto di $X$ contenete un insieme di rappresentati della relazione di equivalenza, abbiamo che ${ninZZ|p(n,A)nnA!=}={0,1,-1}$ (ovvero finito) questo a causa della traslazione sulle ascisse (infatti basta vedere che se trasliamo di $|n|>=2$ i punti di $A$ non hanno ascisse in comune con i punti di $p(n,A)$) e siccome $X$ è T2 allora anche $Y$ è T2.
4) Dal disegno evinciamo subito che nel piano $Oxz$ si tratta di un nastro di moebius, quindi $Y=text{Nastro di moebius sul piano Oxz}xx[-12,12]$ e questo è omotopicamente equivalente a $S^1$ per cui il gruppo fondamentale è $ZZ$. (Se non si nota il fatto del nastro di moebius si può comunque fare la retrazione sul piano $Oxz$ a $[0,1]xx{0}$ con ${(0,0)}~{(1,0)}$ e viene comunque $S^1$)
Tutto giusto?
