Sottospazio di $RR^2$

[andreadel1988]

Siano $X_r={(x,y)inRR^2|x^2+y^2=r^2}$ e sia $Y={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$. Si consideri la topologia euclidea su questi sottoinsiemi di $RR^2$ e sia $Z=Yuu(uu_{rin[1,2]nnQQ}X_r)$.
1) Determinare se $Z$ sia compatto.
2) Determinare se $Z$ sia connesso.
3) Determinare l'insieme dei punti di $Z$ che abbiano un sistema fondamentale di intorni connessi nello spazio topologico $Z$.
4) Determinare se ogni punto di $Z$ abbia un sistema fondamentale di intorni compatti nello spazio topologico $Z$
5) Per ogni $ninNN$ determinare l'insieme dei punti di $Z$ che abbiano un intorno aperta omeomorfo ad un aperto di $RR^n$ (con la topologia euclidea)
6) Determinare se esista una relazione di equivalenza su $Z$ tale che lo spazio topologico quoziente $Z//~$ sia connesso e di cardinalità almeno numerabile.

1) Consideriamo la successione $(2/3(1+1/n)^n,0)inZ$ che converge a $(2/3e,0)notinZ$, quindi $Z$ non è compatto.
2) Abbiamo che $A={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<2}nnZ={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=2}nnZ$ è diverso dal vuoto e da $Z$, per cui $A$ è aperto e chiuso in $Z$ e quindi $Z$ non è connesso.
3) Per ${(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$ basta considerare il sistema fondamentale di intorni connessi
${B_{epsilon}^2($ $(x,y))}_{epsilon<=dist((x,y),S^1)}$.Sia ora $p inZ\\{(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$, supponiamo per assurdo che $W$ sia un intorno connesso di $p$, allora $EEepsilon>0$ tale che $B_(epsilon)^2(p)nnZsubeW$. Supponiamo che $||p||inQQnn[1,2)$, scelgo $s inRR\\QQ$ tale che $||p||<s<||p||+epsilon$ (nel caso $||p||=2$ scelgo tale $s$ in modo che $||p||-epsilon<s<||p||$) ma allora $Wnn{(x,y)inRR^2|x^2+y^2<s^2}=Wnn{(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=s^2}$ è un aperto e chiuso non vuoto e diverso da $W$ in $W$, assurdo
4) Mostriamo per assurdo che $(0,2)$ non ha intorni compatti in $Z$,preso $1<epsilon<2$ tale che $D_{epsilon}^2($ $(0,2))nnZ$ sta dentro un intorno compatto di $(0,2)$ in $Z$, esso è compatto (un chiuso dentro un compatto è compatto) quindi ogni successione in $D_{epsilon}^2($ $(0,2))nnZ$ converge in $D_{epsilon}^2($ $(0,2))nnZ$. Ma siccome $(2-epsilon,2)nnQQ$ è denso in $(2-epsilon,2)$ sia $s in(2-epsilon,2)nn(RR\\QQ)$ esiste una successione in $D_{epsilon}^2($ $(0,2))nnZ$ che converge a $(s,0)$, ma allora si avrebbe che $(s,0)inZ$ assurdo.
5) Siccome un aperto di $RR^n$ è localmente connesso e $Z\\{(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$ non è localmente connesso allora $Z\\{(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$ non ha punti che abbiano un intorno aperta omeomorfo ad un aperto di $RR^n$. Mentre ${(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$ ha aperti omeomorfi a $RR^2$ (ovvero le palle aperte di raggio più piccolo della distanza tra il punto e $S^1$) mentre per gli altri $ninNN$ non ci sono punti di ${(x,y)inRR^2|x^2+y^2<1}$ che abbiano un intorno aperta omeomorfo ad un aperto di $RR^n$ per questione di connessione per archi (basta suppore per assurdo che esistano e facendo i complementari di un sottospazio di dimensione $(n-1)$ si ottiene uno spazio topologico connesso per archi e uno non per cui non possono essere omeomorfi).
6) Poniamo $(x,y)~(x',y')$ se e solo se $y=0$ e $y'=0$ o ($y/x=(y')/(x')$), in questo modo si ottiene qualcosa di omoemorfo a $D^2$.

Tutto giusto?