Ho già visto che sul forum viene accettata come definizione il seguente enunciato:
\( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) è continua \( \Longleftrightarrow \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')\epsilon \tau \)
Invece io dovrei dimostrarlo, tenendo conto che:
1) \( f:(X,\tau )\rightarrow (X',\tau ') \) continua in \( a\epsilon X \Longleftrightarrow \forall U'\epsilon I(f(a)) \exists U\epsilon I(a):f(U)\subseteq U' \) , dove \( I(f(a)) \) è l'insieme degli intorni di \( f(a) \) , \( I(a) \) è l'insieme degli intorni di \( a \) ;
2) \( f \) è continua globalmente \( \Longleftrightarrow \) è continua in ogni punto \( a\epsilon X \).
Vi riporto quanto ho scritto nei miei appunti:
\( \forall A'\epsilon \tau ', f^-1(A')=\emptyset \) \( \epsilon \tau \) oppure \( \exists a\epsilon X: a\epsilon f^-1(A')\Rightarrow f(a)\epsilon A', A' \) intorno aperto di \( f(a) \) e f è continua in \( a \) .
Per la caratterizzazione locale della continuità in un punto, \( f^-1(A')\epsilon I(a) \)
Allora in particolare \( a\epsilon Int(f^-1(A')) \)
\( \Rightarrow f^-1(A')=Int(f^-1(A'))\Rightarrow f^-1(A')\epsilon \tau \)
Quello che non capisco è proprio l'ultimo passaggio. Mi trovo che la controimmagine di un intorno di \( f(a) \) sia un intorno di \( a \) , ma perchè coincide con la sua parte interna, cioè è un aperto?
Spero che qualcuno possa aiutarmi, perchè scommetto che la spiegazione sia molto semplice, ma al momento davvero non riesco ad arrivarci!
