Dubbio su un esercizio quoziente su $D^2$

[andreadel1988]

Sia $XsubRR^2$ il disco di raggio $1$ munito della topologia indotta, ovvero $X = {x inRR^2| ||x||≤ 1}$. Sia $∼$ la relazione di equivalenza su $X$ definita da $x ∼ y$ se e solo se $x = y$ oppure ${||x|| ,||y||} sub{0, 1}$. Sia $Y = X//∼$ munito della topologia quoziente. Determinare se $[$ $(0,0)]$ abbia un sistema fondamentale di intorni compatti.

Soluzione: Un aperto contenente $[$ $(0, 0)]$ è l’immagine di un aperto saturo $A$ di $X$ contenente $S^1uu{(0,0)}$. Per ogni $x inS^1uu{(0,0)}$, sia $\epsilon_x$ il massimo raggio tale che la sfera di raggio $\epsilon_x$ e centro $x$ sia tutta contenuta in $A$. Essendo $S^1uu{(0,0)}$ compatto, possiamo trovare un minimo $\epsilon > 0$ tale che $\epsilon_x≥epsilon$ per ogni $x$, e quindi considerare il compatto $BsubA$ dato dall’unione delle sfere chiuse di raggio $\epsilon/2$ attorno ai punti di $S^1uu{(0,0)}$. La proiezione di $B$ è un intorno compatto di $[$ $(0, 0)]$ in $Y$ . Questo metodo consente, per ogni intorno di $[$ $(0, 0)]$, di dare un intorno compatto in esso contenuto, e quindi fornisce un sistema fondamentale di intorni compatti.

Non ho capito la parte in cui dice "Essendo $S^1uu{(0,0)}$ compatto, possiamo trovare un minimo $\epsilon > 0$ tale che $\epsilon_x≥epsilon$ per ogni $x$", ovvero non ho capito come fa a stabilire che l'insieme ${epsilon_x}_{x inS^1uu{(0,0)}}$ ha un minimo usando la compattezza di $S^1uu{(0,0)}$. In teoria la compattezza di $S^1uu{(0,0)}$ ci dice che $EEx_1,...,x_n$ tali che $uu_{i=1}^nB_{\epsilon_{x_i}}^2(x_i)supeS^1uu{(0,0)}$ ma non vedo il nesso fra le due cose...
(stavo anche pensando che se la funzione $S^1uu{(0,0)}->{epsilon_x}_{x inS^1uu{(0,0)}}$ definita come $x->epsilon_x$ fosse continua allora avrei che ${epsilon_x}_{x inS^1uu{(0,0)}}$ è un compatto di $RR$ e quindi ammette minimo, ma non sono sicuro sia continua come funzione...)