forme bilineari ESERCIZIO che non comprendo in un punto

[Noodles]

Intanto, per quanto riguarda il punto 1, presumo che l'autore definisca un prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica definita positiva. Viceversa, la verifica potrebbe considerarsi superflua. Inoltre, per quanto riguarda il punto 2, poichè:

$[[sqrt2/2,-sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]]=1$

$[[0,0,sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]]=1$

$[[sqrt6/6,sqrt6/6,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]]=1$

$[[0,0,sqrt6/6,-sqrt6/6]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]=1$

una base ortonormale è quella del mio messaggio precedente:

$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]] ^^ [[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]$

Infine, poichè:

$[[0,0,sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]]=1$

$[[-sqrt2/2,sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[-sqrt2/2],[sqrt2/2],[0],[0]]=1$

$[[0,0,-sqrt2/2,sqrt2/2]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[0],[0],[-sqrt2/2],[sqrt2/2]]=3$

$[[sqrt2/2,sqrt2/2,0,0]][[2,1,0,0],[1,2,0,0],[0,0,2,-1],[0,0,-1,2]][[sqrt2/2],[sqrt2/2],[0],[0]]=3$

la soluzione riportata dall'autore:

essendo manifestamente sbagliata, rischia di ingenerare gravi misconcezioni.

... in quanto ho 4 autovalori distinti ...

Veramente, gli autovalori sono 2:

$\lambda=1 ^^ \lambda=3$

di molteplicità algebrica 2.

[salvesalvino]

presumo che l'autore definisca un prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica definita positiva

Yep, exactamuant! . proprio così.


Per il resto, grazie mille, allora direi che il primo punto è un errore suo, ora capisco la confusione che mi aveva arrecato.

Infine per gli autovalori ricordavo male, ero andato a memoria, sono ovviamente quelli da te detti. Mi si scusi l'errore di memoira ma ho fatto molti esercizie avrò confuso con un altro non avendo più la brutta copia sotto mano.



Direi che ogni dubbio è risolto! Grazie mille N. e buona giornata

[salvesalvino]

PS: volevo solo aggiungere un PS, per sicurezza sul come trovare una base ortonormale.
Il mio metodo è stato di sfruttare gli autovettori che come sappiamo tra autospazi diversi sono ortogonali tra loro per la forma bilineare SIMMETRICA. Ovviamente avendo molteplicità 2 ci è andata di fortuna che erano tutti ortogonali anche nel medesimo autospazio. E va bene
Detto ciò, siccome la matrice è simmetrica appunto, se mi porto ad usare la base canonica (+ sfrutto il prodotto scalare canonico) la mia matrice induce un endomorfismo simmetrico con prodotto scalare canonico, quindi in realtà autovettori di autospazi diversi sono garantiti ortogonali ANCHE rispetto al prodotto scalare canonico giusto?

[EDIT]
Però mi viene il dubbio che questo metodo non sia giustissimo, infatti io parto da una matrice simmetrica però trovarne gli autovettori non mi garantisce che essi siano tra loro ortogonali per autospazi differenti rispetto al prodotto scalare richiesto, perché in realtà il mio prodotto non è il canonico uhm sono un po' confuso, parrebbe non dover funzionare eppure è funzionato. C'è qualcosa che mi lascia perplesso.

Mi piacerebbe poter chiarire questo, perché mi sembra corretto ma volevo aver la certezza di aver ragionato correttamente. Chiedo a voi Noodles e Martino una conferma e saluto e ringrazio nuovamente!

[Noodles]

... autovettori di autospazi diversi sono garantiti ortogonali ANCHE rispetto al prodotto scalare canonico ...

Direi proprio il contrario. Autovettori di autospazi diversi sono ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico. Bisogna dimostrare, non è difficile, che sono ortogonali anche rispetto al prodotto scalare non canonico.

[salvesalvino]

Sì, esatto, avevo editato mentre stavi scrivendo mi sa, il discorso come sottolinei è il contrario!
proprio perché la matrice è simmetrica in realtà è questo che garantisce che presa la base canonica e il prodotto scalare canonico ho autovettori ortogonali per autospazi tra loro distinti!

Però è meno ovvio che, dato il mio prodotto scalare (cioè quello dato nell'esercizio), io abbia autovettori ortogonali tra loro anche per questo prodotto scalare non canonico.
Dico meno ovvio perché per averlo dimostrato dovrei garantire di avere una matrice simmetrica quando ho una base ortogonale rispetto al mio prodotto scalare non canonico e non capisco come garantire questo!

[Noodles]

Quando calcoli il prodotto scalare non canonico tra due autovettori ortogonali rispetto al prodotto scalare canonico, autovettore 1 riga a sinistra per matrice per autovettore 2 colonna a destra, poichè l'azione della matrice sull'autovettore 2 colonna a destra, al netto dell'autovalore, riproduce il medesimo autovettore 2 colonna, il gioco è fatto.

[salvesalvino]

Mi ostinavo a tutti i costi a cercare di dimostrare che la matrice era simmetrica ANCHE rispetto al prodotto scalare non canonico datoci, così da avere garantito di avere una base di autovettori anche per essa per il thm spettrale (e quindi essere ortogonali -gli autovettori- anche per tale prodotto non canonico oltre al canonico).

In effetti era meglio spostare l'attenzione sul calcolo più "operativo" come suggerisci e la risposta è immediata, quelli sono autovettori per la mia matrice, quindi rimangono tali al netto dell'autovalore e quindi ho di nuovo un prodotto scalare riga per colonna canonico con un coefficiente scalare in più!

Grazie mille per il tuo importante aiuto!

[Noodles]

Buon proseguimento e complimenti per i tuoi processi metacognitivi.

[salvesalvino]

Lo prendo come un reale complimento , data la tua estrema capacità (che invidio¹ moltissimo) di rendere semplici cose complesse!

Buona giornata

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Note

1. In senso buono ↑