Ho un esercizio sulla forma quadratica che mi porta a un dubbio teorico

[periodo_vettoriano]

L'esercizio recita:

Classificare la forma quadratica Q : R4 −→ R definita da:
$Q((x, y, z,t)) = x^2 − 8xy + y^2 + 6xz + z^2 + t^2$,
ridurla a forma canonica e determinare la matrice del cambiamento di base dalla base
standard di R3 ad una base che permette di ottenere tale forma canonica.

Ed ero giunto a trovare la matrice del cambiamento di base come quella con colonne gli autovettori rispetto alla mia base:

$((-5, 0, 0, 5), (-4, 0, 3, -4), (3, 0, 4, 3), (0, 1, 0, 0))$

Tuttavia la soluzione dell'eserizciario è:

$((0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2), (0,3/5,-(2sqrt2)/5,-(2sqrt2)/5), (0,4/5,3/(5sqrt2),3/(5sqrt2)), (1,0, 0, 0))$

A parte l'ordine delle colonne che non mi disturba essendo una mera scelta, mi accorgo però di una cosa: in toria la mia matrice è diagonalizzante tanto quella dell'eserciziario, solo che lui usa la matrice ortogonale (che sapiamo esistere per il teorema spettrale e ci diagonalizza la forma quadratica).
Ora il mio dubbio è il seguente: dato che le molteplicità algebrice e geometriche sono giuste (e per giuste intendo che mi garantiscono la diagonalizzabilità) posso anche non sfruttare il thm spettrale e dire che ho altresì garantito che "posso diagonalizzare la mia matrice" come fatto da me, quindi anche la mia risposta a conti fatti è valida per l'esercizio perché non si richiede una base ortonormale di autovettori. Sbaglio? E' giusto no? Mi è venuto questo mega-dubbio.

Grazie

[Noodles]

Per definizione, la riduzione a forma canonica richiede una base ortonormale.

[periodo_vettoriano]

Sì, è un po' quello che mi confonde in teoria il thm degli "assi principali", così lo chiama il mio Prof. dice che esiste la matrice diagonalizzante (con per colonne la base ortogonale di autovettori). Verissimo.

Tuttavia ho questo dubbio, io quello che debbo ottenere per avere una forma canonica di fatto è semplicemente riuscire a diagonalizzare la matrice rappresentativa della forma quadratica (cambiandone base a cui la riferisco) e quindi piazzare i miei bei quattro autovalori sulla diagonale che in tal caso sono: -4,1,1,6.

Bene, se io calcolo: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... D%2F%2F%5D

come si nota la matrice diagonalizzante S (del link) esiste e non è ortogonale, d'altra parte se moltiplico le componenti (x1,x2,x3,x4) degli autovettori [rispetto alla base (di autovettori) pur non ortogonali] con la matrice J diagonale ottenuta diagonalizzando tramite S, io trovo proprio la forma canonica! ed è la stessa che otterrei con la diagonalizzazione tramite la matrice:
$((0,0,1/sqrt2,-1/sqrt2), (0,3/5,-(2sqrt2)/5,-(2sqrt2)/5), (0,4/5,3/(5sqrt2),3/(5sqrt2)), (1,0, 0, 0))$ (del testo), ma io uso:
$((-5, 0, 0, 5), (-4, 0, 3, -4), (3, 0, 4, 3), (0, 1, 0, 0))$.

In tal modo perché non posso dire di aver trovato una forma canonica? Ho trovato proprio la stessa forma canonica pur usando una base non ortonormale, e allora?
La forma canonica è solo la matrice diagonale a conti fatti e io l'ho trovata e ho anche una base che la rende tale:
${(-5, 0, 0, 5); (-4, 0, 3, -4); (3, 0, 4, 3); (0, 1, 0, 0)}$.

Non capisco quindi perché non vada bene come risposta all'esercizio, ho questo enorme dubbio che spero mi aiuterai a risolvere

[Noodles]

Stai facendo confusione. Insomma, le cose sono molto più sottili. Ad ogni modo, un conto è diagonalizzare per similitudine mediante la matrice inversa (endomorfismo), un conto è diagonalizzare per congruenza mediante la matrice trasposta (forma bilineare). Solo se la matrice di cambiamento di base è ortogonale, l'inversa è uguale alla trasposta, i due procedimenti sono identici. Nel tuo caso:

$[[x,y,z,t]]*[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[x],[y],[z],[t]]$

$[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[-5],[-4],[3],[0]]=-4*[[-5],[-4],[3],[0]]$

$[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[0],[0],[0],[1]]=1*[[0],[0],[0],[1]]$

$[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[0],[3],[4],[0]]=1*[[0],[3],[4],[0]]$

$[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[5],[-4],[3],[0]]=6*[[5],[-4],[3],[0]]$

se non normalizzi gli autovettori, dovendo procedere con la matrice di cambiamento di base sottostante:

$[[x],[y],[z],[t]]=[[-5,0,0,5],[-4,0,3,-4],[3,0,4,3],[0,1,0,0]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]$

ottieni la seguente forma:

$[[x_1,y_1,z_1,t_1]]*[[-200,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,25,0],[0,0,0,300]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]$

Infatti:

$[[x,y,z,t]]*[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[x],[y],[z],[t]]=$

$=[[x_1,y_1,z_1,t_1]]*[[-5,0,0,5],[-4,0,3,-4],[3,0,4,3],[0,1,0,0]]^t*[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[-5,0,0,5],[-4,0,3,-4],[3,0,4,3],[0,1,0,0]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]=$

$=[[x_1,y_1,z_1,t_1]]*[[-5,-4,3,0],[0,0,0,1],[0,3,4,0],[5,-4,3,0]]*[[1,-4,3,0],[-4,1,0,0],[3,0,1,0],[0,0,0,1]]*[[-5,0,0,5],[-4,0,3,-4],[3,0,4,3],[0,1,0,0]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]=$

$=[[x_1,y_1,z_1,t_1]]*[[-5,-4,3,0],[0,0,0,1],[0,3,4,0],[5,-4,3,0]]*[[20,0,0,30],[16,0,3,-24],[-12,0,4,18],[0,1,0,0]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]=$

$=[[x_1,y_1,z_1,t_1]]*[[-200,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,25,0],[0,0,0,300]]*[[x_1],[y_1],[z_1],[t_1]]$

Ebbene, la forma di cui sopra non è considerata canonica perchè la matrice di cambiamento di base non è ortogonale. Del resto, poichè in $RR^2$ per quanto riguarda le coniche (curve nel piano) così come in $RR^3$ per quanto riguarda le quadriche (superfici nello spazio) si richiede che la riduzione a forma canonica sia effettuata mediante un movimento rigido, una rotazione per intenderci, la generalizzazione appare del tutto naturale.

[periodo_vettoriano]

Ok, allora forse il mio dubbio nasce più che altro dalla definizione di forma canonica che dopo il tuo esempio mi sembra non correttissima, a me si era detto a lezione che:

"diciamo forma canonica della quadratica Q la rappresentazione polinomiale rispetto a una base C la scrittura $Q(x)=lambda_1x_1^2+...+lambda_nx_n^2$ con (x1,..., xn) coordinate di x rispetto a C."

Messa così mi pareva che C potesse essere una qualsiasi base che rendesse possibile esprimere la matrice rappresentativa di Q in forma diagonale, e la base che indicavo io funzionava.

Non consideravo però tutto il discorso sul cambiamento di base tramite matrice ortogonale.

A questo punto mi sembra però non correttissima quella definizione che ho perché lascia spazio a grandi fraintendimenti e stando a quella la mia base rende diagonale la matrice e quindi rispetterebbe quella definizione datami pur non essendo ortogonale.

Mi e ti chiedo quindi come si potrebbe, secondo te, definire in modo migliore la forma canonica di una forma quadratica che compendi anche il discorso da te fatto?

Grazie

[Noodles]

Classificare la forma quadratica ... ridurla a forma canonica ...

A rigore, leggendo il testo della consegna, la forma canonica dovrebbe essere unica. Altrimenti si doveva scrivere "... ridurla ad una forma canonica ...". Ebbene, la forma canonica è unica se e solo se si fissa la norma degli autovettori. Infatti, gli elementi diagonali dipendono proprio dalla norma degli autovettori. Se il movimento deve essere rigido, la norma degli autovettori deve essere unitaria.

[periodo_vettoriano]

Aspetta, forse mi sono spiegato male o mi sfugge una sciocchezza perché quello che dici l'ho capito.

Capisco che se dice "a forma canonica" sia inteso come unica forma, però in altre consegne simili chiede di ridurla "in una forma canonica" intesa come una forma canonica dato che da definizione potrebbero esservi più forme canoniche appunto.

Tuttavia a me non convince molto la mia definizione che ho di "forma canonica" (proprio per tutto il discorso da te fatto):

"diciamo forma canonica della quadratica Q la rappresentazione polinomiale rispetto a una base C la scrittura $Q(x)=lambda_1x_1^2+...+lambda_nx_n^2$ con (x1,..., xn) coordinate di x rispetto a C."

Perché messa così a me sembra solo che chieda una base per cui posso scrivere la matrice diagonale cosicché moltiplicando la matrice (di autovalori) per (x1,..., xn) coordinate di x rispetto a C (base) ho una forma canonica.

non sembra, dalla definizione, dare alcuna richiesta sulla matrice di cambiamento ne sulla base ortonormale. Sbaglio?
Sto proprio ragionando a livello di definizione che ho, il resto del discorso mi è chiaro, ma non mi convince la mera definizione adottata nel mio caso.

[periodo_vettoriano]

Quello che voglio dire con il precedente è che forse mi piacerebbe avere una definizione dove dice espressamente che la base deve essere ortonormale. Mentre nella mia sembra solo che tutto si giochi su avere una qualsiasi matrice diagonale e a quel punto il mio ragionamento mi sembra lecito. Io di fatto ho trovato una base per cui è diagonale (però non rispetta più tutte le belle cosette che come mi fai notare dovrebbero esser rispettate).

Quindi come si risolve il problema? Secondo me sarebbe risolvibile riuscendo ad avere una definizione più utile di forma canonica perché la mia non rispetta quei parametri di ortogonalità della matrice cambiamento di base e quindi di ortonormalità della base per cui ho forma canonica. Non so se ho spiegato meglio il dubbio? Fammi sapere e grazie .

[Noodles]

Diciamo forma canonica ...

$lambda_1x_1^2+...+lambda_nx_n^2$

... a me sembra solo che chieda una base per cui posso scrivere la matrice diagonale cosicché moltiplicando la matrice (di autovalori) ...

Veramente, non si dice che i coefficienti siano gli autovalori. A meno che con i simboli $\lambda_n$ si intendano proprio questi ultimi. Tuttavia, dando un'occhiata in rete, alcune risorse riportano la tua definizione richiedendo che i simboli $\lambda_n$ siano semplicemente degli scalari.

[periodo_vettoriano]

Sì, hai proprio ragione, in effetti era una costruzione mia dire autovalori ma di fatto richiede solo siano scalari.
Però, a mio parere, quel discorso sulla richiesta della base ortogonale resta, cioè volevo capire se secondo il tuo parere quello che dico ha senso o meno.
Perché la definizione messa così mi sembra ambigua, proprio perché sembra che basta che trovi una base qualsiasi che dia quella forma, ma come tu dicevi secondo me sarebbe utile parlare di base ortogonale!
Anche perché negli esercizi , di fatto,, determina sempre il caso di una tal base.

No? Tu che ne pensi?
Non capisco se condividi o siano solo mie costruzioni mentali errate