Trovare un endomorfismo che abbia come immagine di un piano una retta (in ℝ³)

[xineohp]

Ciao a tutti,
sono alle prese con la seguente richiesta di un esercizio che ahimè non riesco a formalizzare.

Ho il seguente piano e la seguente retta in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \):

\(\displaystyle \pi: x+2y-2z=4\)

\(\displaystyle r: \left\{\begin{matrix}
x(t)=3t+1
\\
y(t)=-t+3
\\
z(t)=-2t+3
\end{matrix}\right. \)

Si vuole determinare un endomorfismo \(\displaystyle F:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che \(\displaystyle F(\pi)=r \).

L'idea di base su cui stavo ragionando, era quella di prendere un generico vettore appartenente a \(\displaystyle Giac(\pi) \) (esprimendolo come combinazione lineare dei due vettori della giacitura stessa) e far sì che venga mappato in un vettore multiplo della direzione di \(\displaystyle r \) (in altri termini che l'immagine fosse un vettore di \(\displaystyle Giac(r) \)). Riuscite a darmi una mano ad argomentare il mio pensiero per arrivare a soluzione, o in caso a trovare una via migliore?
Grazie molte!!!

[andreadel1988]

Basta che prendi una base di $RR^3$ costituita da due vettori che generano il piano (e uno esterno) e questo due li mandi in due vettori della retta $r$ (ovviamente tenendo conto che la tua $F$ deve essere un endomorfismo).

[Noodles]

Basta che prendi una base di $RR^3$ costituita da due vettori che generano il piano ...

Il problema è che il piano e la retta non sono sottospazi vettoriali.

[andreadel1988]

Il problema è che il piano e la retta non sono sottospazi vettoriali.

Allora vedi quali sono le traslazioni dal sottospazio corrispondente all'affinità, poi ti trovi $F$ tra i sottospazi e infine applichi le dovute traslazione che ti sei trovato prima ad $F$

[Noodles]

Il procedimento sottostante è piuttosto sintetico:

Piano

$x+2y-2z=4 rarr$

$rarr [[x],[y],[z]]=u*[[1],[0],[1/2]]+v*[[0],[1],[1]]+[[0],[0],[-2]]$

Retta

$\{(x=3t+1),(y=-t+3),(z=-2t+3):} rarr$

$rarr [[x],[y],[z]]=t*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]$

Endomorfismo

$F[[1],[0],[1/2]]=[[3],[-1],[-2]]$

$F[[0],[1],[1]]=[[3],[-1],[-2]]$

$F[[0],[0],[-2]]=[[1],[3],[3]]$

Verifica

$F[u*[[1],[0],[1/2]]+v*[[0],[1],[1]]+[[0],[0],[-2]]]=$

$=u*F[[1],[0],[1/2]]+v*F[[0],[1],[1]]+F[[0],[0],[-2]]=$

$=u*[[3],[-1],[-2]]+v*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]=$

$=(u+v)*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]=$

$=t*[[3],[-1],[-2]]+[[1],[3],[3]]$

$u+v=t$

[xineohp]

Grazie mille a tutti per il contributo!