Ho provato a fare una dimostrazione, vorrei sapere se per voi i miei ragionamenti filano o se c'è qualche falla da qualche parte.
TEOREMA: Sia \( (X,\tau _d), d \) metrica su \( X \) . Sono equivalenti:
1. \( (X, \tau _d) \) compatto
2. \( (X, \tau _d) \) numerabilmente compatto
3. \( (X, \tau _d) \) sequenzialmente compatto
Voglio dimostrare che \( 2. \Rightarrow 3. \) , dove per definizione:
\( (X,\tau _d) \) numerabilmente compatto \( \Longleftrightarrow \forall S\subseteq X, S \) infinito \( \Rightarrow D(S)\neq \emptyset \) ;
\( (X, \tau _d) \) sequenzialmente compatto \( \Longleftrightarrow \) ogni successione a valori in \( X \) ammette sottosuccessione convergente.
DIMOSTRAZIONE:
Sia \( (a_n)_{n\in N} \) una successione in \( X \) , sia \( S=\{a_n|n\in N\} \) sostegno della successione.
CASO 1: \( S \) finito. In tal caso \( \exists c\in X:a_n=c \) per infiniti valori di \( n \) e quindi posso costruire un'estratta di \( (a_n)_{n\in N} \) costantemente uguale a \( c \) e di conseguenza convergente a \( c \) .
CASO 2: \( S \) infinito. \( (X, \tau _d) \) numerabilmente compatto \( \Rightarrow \exists P\in D(S) \)
Essendo \( (X, \tau _d) \) spazio topologico indotto da una metrica \( d \) , in particolare è N1 (primo numerabile).
\( \Rightarrow \ B_P= \{B_n|n\in N\} \) base locale nidifcata in \( P \) \( \Rightarrow \forall B_n\in B_P, (B_n\setminus \{P \})\cap S\neq \emptyset \) e \( \forall n\in N \) , fissato \( a_n\in (B_n\setminus \{P\})\cap S, \exists (a_n)_{n\in N} : (a_n)_{n\in N}\longrightarrow P \)
Per definizione di convergenza di successioni in spazi metrici, ciò equivale a dire che:
\( \forall \varepsilon >0,\exists n_0\in N:\forall n\ge n_0, d(a_n,P)<\varepsilon \)
Considerata una sottosuccessione \( (a_{i_n})_n \) , se considero \( i_n \ge n \ge n_0 \) ottengo che \( d(a_{i_n},P)<\varepsilon \) cioè ho trovato una sottosuccessione convergente.
Che ne dite? Può andare o c'è qualcosa che devo correggere?
