Azione di gruppo di $ZZ^2$ su $CC$

[andreadel1988]

Si fissino $λ_1, λ_2inCC$ linearmente indipendenti su $RR$. Si consideri l’azione del gruppo $ZZ^2$ su $CC$ data da $(n_1, n_2)·z =z + n_1λ_1 + n_2λ_2$ per ogni $n_1, n_2inZZ$ e $zinCC$. Si provi che lo spazio topologico quoziente $CC//ZZ^2$ è omeomorfo a $S^1 × S^1$.

Siccome $λ_1, λ_2$ sono linearmente indipendenti su $RR$, allora preso $zinCC$ posso scrivere $z=aλ_1+bλ_2$ con $a,binRR$. Considero l'omeomorfismo $f:CC//ZZ^2->S^1 × S^1$ definita come $f([z])=(e^(2piai),e^(2pibi))$ con $z=aλ_1+bλ_2$.

Va bene?

[3m0o]

Sei sicuro che è il quoziente topologico che significa che \(\mathbb{Z}^2 \) è identificato ad un punto nel quoziente e non ti si chiede invece il quoziente di gruppi, i cui elementi sono cosets sotto l'azione descritta nel testo del problema, dotato della topologia quoziente?

Edit: Cioè \( \mathbb{C}/\mathbb{Z}^2 \) dovrebbe essere secondo me \( \mathbb{C}/\sim \) dove \( z \sim w \) se e solo se esistono \(n,m \in \mathbb{Z} \) tale che \(z = w + n \lambda_1 + m \lambda_2 \). Mentre se chiedi il quoziente topologico invece hai che \( \mathbb{C}/\sim \) dove \( z \sim w \) se e solo se \(z, w \in \mathbb{Z}^2 \).

Se intendi il quoziente di gruppo allora la tua soluzione va bene! Infatti se gli dai la topologia quoziente allora poiché \( \lambda_1,\lambda_2\) sono lin. indep. vedendo \( \mathbb{C} \) come \( \mathbb{R}^2 \) come hai detto tu hai che l'azione descritta nel testo di \( \mathbb{Z}^2 \) su \( \mathbb{C} \) significa su \(\mathbb{R}^2\) sostanzialmente \( (a,b) + (n,m) = (a+n,b+m) \). Infatti \( z= a \lambda_1 + b \lambda_2 \) e \( z \cdot (n,m) = (a+n) \lambda_1 + (b+m) \lambda_2 \). Ora è facile vedere che il morfismo di gruppo \(f : \mathbb{R}^2 \to S^1 \times S^1 \) è suriettivo con \( \ker f = \mathbb{Z}^2 \) e passa al quoziente in \( \overline{f} : \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 \to S^1 \times S^1 \) ottenendo la funzione che hai descritto te. Siccome \( f =\overline{f} \circ \pi \), dove \( \pi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2 \) è il quoziente, hai che \( \overline{f} \) è continua poiché \(f\) lo è. Devi dimostrare che \( \overline{f}^{-1}\) è continua, per farlo è sufficiente dimostrare che \( f \) è una mappa aperta ma puoi usare che su ogni coordinata è una mappa aperta.