Coniche

[Bino-Assoult]

Ciao, giungo qui per chiedere un aiuto. Nel mio corso di algebra lineare di sanno alcuni accenni alla classificazione di coniche.
Tuttavia ho un dubbio perché credo non sia stato approfodnito moltissimo l'argomento e solo trattao marginalmente.

Ho capito ovviamente come trovare fissato un sistema ortonormale, monometrico positivo dalla definizione di ellisse la sua equazione. tuttavia si ottiene con tale metodo: $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ con a secondo membro il +1.

Tuttavia nell'eserciziario trovo una ellisse anche immaginaria $x^2/a^2+y^2/b^2=-1$ ma come esce quel meno 1 mi rimane alquanto misterioso. (prima domanda).
Ho poi una (seconda domanda): l'eserciziario non palra di iperbole immaginaria. E perché non può esistere? Se può esistere $x^2/a^2+y^2/b^2=-1$ perché non può esistere $x^2/a^2-y^2/b^2=-1$ sono incuriosito ma non trovo molte fonti soddisfacenti.

Spero in qualche chiarimento

[sellacollesella]

Posto \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\), l'equazione cartesiana \[
\alpha\,x^2 + \beta\,y^2 = 1
\] individua una conica di centro \((0,0)\):

• se \(\alpha \cdot \beta < 0\) individua una iperbole:
  
  
  • se \(\alpha > \beta\) i fuochi stanno sull'asse \(x\);
    
    
  • se \(\alpha < \beta\) i fuochi stanno sull'asse \(y\);
    
    
  • inoltre, se \(|\alpha| = |\beta|\) si tratta di una iperbole equilatera;
• se \(\alpha \cdot \beta > 0\) individua una ellisse:
  
  
  • se \(\alpha < 0\) e \(\beta < 0\) è immaginaria, dato che alcun \((x,y) \in \mathbb{R}^2\) soddisfa l'equazione;
    
    
  • altrimenti, se \(\alpha < \beta\) i fuochi stanno sull'asse \(x\);
    
    
  • altrimenti, se \(\alpha > \beta\) i fuochi stanno sull'asse \(y\);
    
    
  • altrimenti, se \(\alpha = \beta\) si tratta di una circonferenza.

Insomma, si tratta solamente di fare la "lista della spesa" dei vari casi, nulla di più.