Esercizio endomorfismo

[ganxi]

Ciao,

ho il seguente endomorfismo:

$((4,4,2),(4,2,2),(8,4,4))$

ho diversi sottoesercizi tra cui uno che proprio non ho idea di come risolverlo (che non sia per tentativi ):

dire se esiste un endomorfismo g di R3 tale che ker g = im f e im g = ker f .


Come si fa? Non ho davvero idee

[Noodles]

Intanto, non è del tutto chiaro se devi solo dimostrarne l'esistenza o se devi anche determinarlo. A rigore, sembrerebbe che tu debba solo dimostrarne l'esistenza.

[ganxi]

In realtà si vuole anche determinare (stando alla soluzione), e volevo capire un metodo generale e furbo per farlo che non sia "provando e riprovando".

[Noodles]

Premesso che l'esistenza dell'endomorfismo è assicurata dal punto di vista teorico (a rigore, rispondendo solo affermativamente, per onestà intellettuale l'autore del testo non dovrebbe avere nulla da eccepire), puoi cominciare determinando i seguenti sottospazi in forma parametrica:

Nucleo di f

$[[4,4,2],[4,2,2],[8,4,4]][[x],[y],[z]]=[[0],[0],[0]] rarr$

$rarr [[x],[y],[z]]=u[[1],[0],[-2]]$

Immagine di f

$[[barx],[bary],[barz]]=[[4,4,2],[4,2,2],[8,4,4]][[x],[y],[z]] rarr$

$rarr [[barx],[bary],[barz]]=x[[4],[4],[8]]+y[[4],[2],[4]]+z[[2],[2],[4]] rarr$

$rarr [[barx],[bary],[barz]]=(4x+2z)[[1],[1],[2]]+2y[[2],[1],[2]] rarr$

$rarr [[barx],[bary],[barz]]=u[[1],[1],[2]]+v[[2],[1],[2]]$

$[u=4x+2z] ^^ [v=2y]$

A questo punto, lascio a te riflettere su come concludere.