ESERCIZIO: su forme quadratiche e coniche

[salvesalvino]

Sera a voi.

Avrei bisogno di chiedervi un aiuto su un esercizio che mi porta grandi grattacapi.



Il mio problema è sul punto 6 perché non riesco a capire cosa chieda. a me sembra che se pongo: 2x+2y=0 non ho grossi problemi a dire che è una retta?

Ma ovviamente non è questo. Quindi non capisco proprio come funzioni questo esercizio

[salvesalvino]

Ok forse sono solo molto stanco e il senso voleva essere: $x^2+y^2=2(x+y)$ però a me esce:

$1/2 (x - 1)^2 + 1/2 (y - 1)^2 = 1$ da cui la facile traslazione $ 1/2 (x')^2 + 1/2 (y')^2 = 1$ ma la soluzione è:

noto che $Q′(ξ, η) = ξ^2 + η^2$ si vede facilmente essere una ellisse: $ξ′^2 + η′^2 = 1$

Quindi il mio risultato è comunque scorretto. Perché?

[Noodles]

Noto, con un certo stupore, che:
1. Nel punto 3 si parla di una forma canonica di una forma quadratica.
2. Nel punto 5 si parla di forma normale di una forma quadratica.
3. Nel punto 6 si parla di forma canonica di una conica.
A questo punto, nello spirito della prima discussione, si dovrebbe almeno chiarire la definizione di forma normale di una forma quadratica.

[salvesalvino]

Si, infatti le domande che ponevo qualche giorno fa nascevano proprio da questi testi un po' poco formali a mio avviso. Però come avevamo capito nell'altra discussione sono tutte da leggersi come "la", cioè quella ottenuta con la base ortonormalizzata e matrice cambiamento ortogonale. In questi casi.

Detto ciò, non capisco perché a me esca una cosa diversa.

[Noodles]

Se il cambiamento di coordinate deve essere una rototraslazione, la soluzione riportata dall'autore è manifestamente sbagliata (basta osservare che gli autovalori della matrice di ordine 2 associata alla conica sono diversi). Infatti, poichè:

Movimento rigido 1: rotazione

$\{(x=sqrt2/2x_1+sqrt2/2y_1),(y=sqrt2/2x_1-sqrt2/2y_1):} ^^ [3x^2-2xy+3y^2-2x-2y=0] rarr$

$ rarr 2x_1^2+4y_1^2-2sqrt2x_1=0$

Movimento rigido 2: traslazione

$\{(x_1=x_2+sqrt2/2),(y_1=y_2):} ^^ [2x_1^2+4y_1^2-2sqrt2x_1=0] rarr$

$ rarr 2x_2^2+4y_2^2-1=0$

componendo:

Movimento rigido: rototraslazione

$\{(x=sqrt2/2x_2+sqrt2/2y_2+1/2),(y=sqrt2/2x_2-sqrt2/2y_2+1/2):} ^^ [3x^2-2xy+3y^2-2x-2y=0] rarr$

$ rarr 2x_2^2+4y_2^2-1=0$

Solo operando una terza trasformazione non rigida (dilatazione) è possibile ricondursi alla soluzione riportata dall'autore.

[salvesalvino]

All'inizio non capivo perché non mi raccapezzavo con la tua poi ho capito che hai sfruttato $Q(x,y)=2(x+y)$, però mi sorge un dubbio: in realtà lui scrive $Q'(x,y)=2(x+y)$ dove Q' e quella dedotta dal testo di tutti i vari punti elencati.

Da qui la domanda: ma sei sicuro che lui non intenda $x^2+y^2=2(x+y)$, ove Q' è la Q ristretta definita nel testo?

Da queste considerazioni usciva la mia:

Ok forse sono solo molto stanco e il senso voleva essere: $x^2+y^2=2(x+y)$ però a me esce:

$1/2 (x - 1)^2 + 1/2 (y - 1)^2 = 1$ da cui la facile traslazione $ 1/2 (x')^2 + 1/2 (y')^2 = 1$ ma la soluzione è:

noto che $Q′(ξ, η) = ξ^2 + η^2$ si vede facilmente essere una ellisse: $ξ′^2 + η′^2 = 1$

Quindi il mio risultato è comunque scorretto. Perché?