Domanda su applicazione lineare e componenti del vettore

[klisti]

Ciao,

cercavo di capire una cosa di cui non sono canto certo.
Mi accorgo che definendo una applicazione lineare f(x,y)=2x ad esempio essa si può vedere in due modi:
1 - in teoria prendo proprio un vettore di R2 ed f lavora sulle componenti del vettore (componenti intese come slot della dupla e non come coordinata della base).
2 - oppure posso vedere la dupla come f(xe_1+ye_2)=2x in questo caso la f lavora sulle coordinate x e y del vettore (x,y) rispetto alla base canonica.

Posso quindi definire f sfruttando il vero vettore R3 (passatemi il termine "vero") oppure il vettore di componenti (x,y) rispetto alla base canonica.

Benissimo.

3- Provaimo ora a prendere una f così definita sullo spazio dei polinomi: f(v)=f(1+x)=2x, qui mi sembra di avere una definizione di f solo con una lettura per coordinate e non "lavorando sul vero vettore", cerco di chiarire:

v=1+x non è altro che il vettore scritto sfruttando la base dello spazio dei polinomi B={1,x}, quindi quando scrivo f=2x io ho la f la definisco sfruttando le coordinate rispetto a B e non le componenti del vettore (le componenti di (x,y) ci sono a prescindere dalla base scelta, sono insite nella definizione stessa di vettore (x,y) ), con componenti intese come "parti del vettore".
Mi pare che nello spazio dei polinomi non ci sia modo di lavorare per componenti, perché rispetto alla n-upla in tal caso non riesco a vedere cosa siano le componenti (intese come parte intrinseca della costruzione del vettore)

NB: ho usato coordinate con senso diverso da componenti: le coordinate le intendo come coefficienti della base per scrivere il vettore, le componenti del vettore sono invece gli slot della n-upla del vero vettore.

Non capisco bene come districarmi da queste cose.

[Noodles]

Posso quindi definire f sfruttando il vero vettore R3 ...

Probabilmente intendevi scrivere R2.

Mi accorgo che definendo una applicazione lineare f(x,y)=2x ...

Senza entrare troppo nel dettaglio, ti ricordo che, quando definisci una trasformazione lineare nel modo sottostante:

$f(x,y)=2x$

si dovrebbero sempre assegnare le basi. Se le basi non sono assegnate, si intendono le basi naturali, le uniche rispetto alle quali le componenti dei "veri vettori", immagino che tu intenda lo stesso concetto che intendo io, coincidono con i numeri che definiscono i "veri vettori" medesimi.

[klisti]

Ti ringrazio per la risposta, tuttavia sono ancora un po' confuso e avrei bisogno ancora del tuo aiuto.

Il tutto è in realtà partito leggendo fortuitamente questa vecchia discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... h#p8415824
e dalle forme bilineari si è riportata alle applicazioni lineari.

Mi accorgo ad esempio che quando scrivevo f((x,y))=2x io l'ho sempre intesa come "svincolata dalla basi", un po' come quando scrivo \( \phi((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_1+x_2y_2 \) è svincolata da basi (ne parla nel link antozoolander) e non è "rispetto alla base canonica di $RR^2$"

D'altra parte posso prendere B={(1,0),(0,1)} e qui si ora prendo le componenti rispetto alla base e ottengo il vettore componenti (x,y) che ovviamente corrisponde a quello originale (x,y), e ora la definizione f((x,y))=2x
è proprio data "per coordinate" rispetto alla base.

Parimenti per l'esempio forma bilineare possiamo prendere delle basi, ad esempio: $B={(1,0),(1,1)}$ e definire l'applicazione attraverso una base: e avremo che phi è $x_1y_1+x_2y_1+x_1y_2+2x_2y_2$ e qui quindi sono coordinate rispetto una base le xn, yn.

E' un po' su qeuste cose che mi intorto

[Noodles]

Intanto, ho modificato il mio messaggio precedente. Per un qualche motivo avevo considerato un endomorfismo piuttosto che una generica trasformazione lineare, più aderente all'esempio che avevi proposto. Inoltre, la scrittura sottostante:

$f(x,y)=2x$

può essere tranquillamente considerata svincolata dalle basi. Tuttavia, poichè, nel prosieguo degli studi, si introduce il concetto di base e il concetto di rappresentazione di una trasformazione lineare rispetto a determinate basi, vale la pena sottolineare che, rispetto alle basi naturali, la scrittura sarebbe del tutto identica (vedi il mio messaggio precedente). Spero di essermi spiegato.

[klisti]

@Noodles: forse ero stato poco chiaro e ho provato a riformulare meglio la domanda... è solo che vorrei tanto capire perché sennò esco impazzito.

Sì avevo letto endomorfismo, ma avevo intuito fosse un lapsus come il mio primo R3, ovviamente R2 e non ci ho posto molta attenzione.

per quanto riguarda il resto del discorso, direi che mi hai chiarito cosa intendevi.

Resta però attiva la domanda che ponevo e che ancora mi disturba un po'. Come dicevamo f(x,y)=2x può ritenersi svincolata dalle basi (in analogia con la forma bilineare ϕ((x1,x2),(y1,y2))=x1y1+x2y2 precedente che era svincolata.)
Insomma $R^n$ si presta a poter definire applicazioni lineari senza basi e ciò va bene (o come dici tu poi posso definire la base naturale canonica (1,0), (0,1) e ho la definizione tramite coordinate).

Tutto ok, ma qui viene il dubbio, come dicevo:

Se però passo a spazi $V3$ o $R_1[x]$, cioè lo spazio classico delle "freccette" e quello polinomiale, beh qui non posso definire una applicazione lineare senza definire prima una base: sia ad esempio: $f((xveci+yvecj+zveck))=yveci+zvecj+xveck$ qui definisco $B={i,j,k}$ e lavorando sulle componenti definisco l'applicazione lineare. Quando invece prendo f(x,y)=2x io invece lo posso fare senza una base.
Ebbene, quello di cui mi accorgo è però che nello spazio $V_3$ ed $R_1[x]$ io non posso fare lo stesso lavoro che faccio in R2 di definire f senza avere una base (cioè giocando solo con le componenti della n-upla), io ho sempre bisono della base in questi due spazi, perché $f(x i+yj+zk)=yi+zj+xk$ è inindefinibile senza base, così come f(a*1 + b*x)=2a come faccio a definirle svincolate dalle basi? Volevo quindi capire se come dicevamo quando ho R^n posso definire f svincolato dalle basi, mentre per i due esempi ora fatti è IMPRESCINDIBILE la base?

Grazie a te!

[Noodles]

... lo spazio classico delle "freccette" e quello polinomiale ...

Poichè l'esempio dello spazio delle "freccette" mi sembra un po' infelice, nella migliore delle ipotesi dovresti chiarire, mi limiterei a prendere come esempio uno spazio di polinomi. Del resto, mi sembra di capire che il tuo dubbio, al netto di $RR^n$, non dipenda dal particolare spazio vettoriale di dimensione $n$ preso in considerazione.

[klisti]

Sì, con spazio delle freccette intendevo quello solito "grafico" che si disegna sul foglio e avente per base la classica {i,j,k} che è in realtà distinto da R3 (diceva il nostro prof), c'è poi l'isomorfismo coordinato che li mette in corrispondenza e siamo classicamente poi abituati a intendere "i" come (1,0,0) o come asse x per intenderci ma di fatto c'è un isomorfismo di mezzo..

Comunque tolto il nome di spazio descritto come "freccette" che non è così entusiasmente, quello dei polinomi mi pare presentare lo stesso problema. Come dicevo $f((x,y,z))=2x$ è del tutto svincolabile da basi (perché mischio a piacere le componenti x,y,z mettendo dei coefficienti ecc), fin qui ci siamo. La base non serve per forza.

Mentre: $f(x i+yj+zk)=yi+zj+xk$ è inindefinibile senza base (perché prendendo i vettori grafici i,j,k come dicevo, io non posso operare per componenti come facciamo con f((x,y,z))=2x), così come $f(a*1 + b*x)=2a$ io sono costretto a usare la base canonica così da poter operare sulle coordinate perché i vettori stessi non si prestano a definire una applicazione lineare senza usare la base.. cioè non saprei come si potrebbe fare.

Come dicevi, inoltre, il problema è su una dimensionalità qualunque, parlo proprio a livello di spazi, quindi sia n=2,3,...,k quello che si vuole.
N-B: ripeto inoltre che intendo per componenti gli "slot" delle ennuple di Rn, mentre con coordinate i coefficienti anteposti a ogni vettore di base che mi permettono di scrivere un qualunque vettore di V3 o Rn[x].
Quindi coordinate e componenti sono qui (in questa discussione) intese in sensi diversi e non sinonimi.

[Noodles]

Continuo la discussione prendendo come esempio $R_1[x]$, lo spazio dei polinomi di grado 0 o di grado 1.

Se però passo a $R_1[x]$, qui non posso definire un'applicazione lineare senza definire prima una base ...

Purtroppo non ti seguo. Per esempio, posso definire una prima applicazione lineare in questo primo modo:

$ax+b rarr (3a-1)x-b+2$ (il polinomio $ax+b$ è mandato nel polinomio $(3a-1)x-b+2$

così come posso definire una seconda applicazione lineare in questo secondo modo:

$2x+5 rarr -7x+4$ (il polinomio $2x+5$ è mandato nel polinomio $-7x+4$

$-3x+8 rarr x+1$ (il polinomio $-3x+8$ è mandato nel polinomio $x+1$

senza fare alcun riferimento ad una base. Insomma, che cosa intendi esattamente per definire un'applicazione lineare? Intendi necessariamente la sua rappresentazione matriciale?

[klisti]

Scusa la risposta tardiva ma ho avuto il covid e non riuscivo a stare di fronte a uno schermo , solo oggi riesco a leggere qualcosa senza avere una emicrania invalidante.

Ad ogni modo, non intendevo la definizione matriciale, quanto piuttosto il fatto che:
$ax+b→(3a−1)x−b+2$ (il polinomio ax+b è mandato nel polinomio $(3a−1)x−b+2$ mi sembrava usare la base canonica: {1,x} e le relative coordinate rispetto a tale base. Coordinate che sono: $[a,b]$ in controimmagine e $[(3a-1), -b]$ in immagine. Non so se mi spiego ma io prendo (coordinata)*(vettore di base1)+(coordinata)*(vettore di base 2) e definisco così la mia applicazione linare. Cosa che con le n-uple non faccio, sono del tutto SVINCOLATE da una base le f definite suelle n-uple. Quelle die polinomi NO! sono una somma di coefficiente per vettore di base (quindi SERVE una base). Non capisco il mio errore


Stessa cosa per i vettori geometrici con base canonica {i,j,k}: se scrivo $f(x i+yj+zk)=yi+zj+xk$ è inindefinibile senza base e relative coordinate, cioè per definire tale f come faccio a farlo senza usare una base?