L'ho letta tutta anche se non è stato ben affrontato nel mio corso ma volevo chiedervi due cose riguardo alle conclusioni.
Non mi è chiarissimo se:
1\ $((W)^⊥)^⊥=W$ PUO' verificarsi quando la forma bilineare φ è degenere oppure se mai si verifichi =.
Vi spiego il dubbio: come dicevate nel corso della discussione noi sappiamo solo che se la forma è non degenere => sicuramente è valido =. Se non è degenere a priori non sappiamo se sia valida o meno l'uguaglianza.
Tuttavia da questo discorso
mi pare di dedurre che se è degenere non vale mai il simbolo "=", ma solo una inclusione? E' così?megas_archon ha scritto:Degenere, in termini della rappresentazione di una applicazione bilineare \(\varphi\) come una applicazione lineare \(V\to V^\lor\), quando su $V$ scegli una base e sul duale \(V^\lor\) la base duale, significa che \(\det\varphi = 0\), il che è equivalente a \(\ker\varphi \ne (0)\). Ora, siccome \(W^{\perp\perp,\varphi} = \{v\in V\mid \forall u\in W^\perp.\varphi(v,u)=0\}\), hai che \(W\subseteq W^{\perp\perp,\varphi}\); l'uguaglianza vale quando \(\varphi\) è non degenere.
Mi sembra di no però, perché leggendo questo:
assumiamo di avere una forma phi che mi mantenga i soliti tre assi i,j,k cartesiani solo che i è ortogonale a tutti i vettori di $R^3$, sia qundi il mio $W={i}$, a questo punto mi pare che $W^⊥$ non sia altro che tutto lo spazio meno il vettore i, se faccio $((W)^⊥)^⊥$ mi sembra proprio di riottenere $W$.
E' un caso degenere eppure vale l'"=", non devo quindi aver capito qualcosa della prima citazione, oppure questo esempio è sbagliato (ma onestamente mi sembra giusto).
Purtroppo i duali non li ho ancora trattati quindi ho letto per conto mio per capire il discorso, potrei quindi aver preso un granchio.
Per il secondo dubbio:
2\ $W⊕W^⊥=W$ vale se la forma non è degenere e non ha isotropi in generale.
Però anche qui non ho capito se ho isotropi non vale mai l'uguaglianza o possono esserci casi in cui vale pur avendo isotropi?
Ad esempio qui mi sembra di capire (secondo esempio quote) che possa esserci un caso in cui c'è un isotropo j però $W⊕W^⊥=W$.
2) sia di nuovo una phi che ha i vettori $i,j,k$ ortogonali come il classico prodotto scalare canonico e che sia non degenere (al nostro scopo), ma abbia in aggiunta in tal caso $i$ vettore isotropo (cioè phi-ortogonale a se stesso).
Facciamo anche qui due esempi:
- se assumo $W={i}$ è evidente che $(W)^⊥$={i} unito al piano determinato da j e k; ma ora non è che $W⊕W^⊥!=W$, proprio non vale la somma diretta perché l'ortogonale ha già un vettore di W: proprio l'isotropo stesso!
- il secondo esempio è se prendessi i di nuovo isotropo ma $W={j}$, eh beh qui mi sembra che $W^⊥$ sia il piano generato da i e k, e la somma diretta funziona eccome. Quindi non è vero che non funziona mai.
grazie.
.
