Cerco quindi un confronto con qualcuno lasciando il primo esercizio qui: (la prova si compone di vari esercizi e alcuni sottoesercizi, tralascerò le parti che capisco cercando di discutere quelle che non so fare).
Nel piano rispetto al riferimento cartesiano R(O,xy) ho la conica:
C: $13x^2+7y^2-8xy+2x+4y-4=0$
Dopo averla classificata, traslata ruotata ecc ho capito essere ellisse (soluzione giusta).
Ora le domande:
1) come cambia la conica se variamo il valore del termine noto?
2) è possibile eliminare uno dei termini dell'equazione in modo che si abbia una iperbole?
SOL:
1)io ho pensato che preso $c$ termine noto, con c>0 se c>4 l'ellisse si ingrandisce poiché avro qualcosa del tipo: $x^2/a+y^2/b=c$ quindi $x^2/(ca)+y^2/(cb)=1$ Quindi a parità di a,b fissi, ho valori a denominatore maggiori -> le x e y devono crescere.
D'altra parte se mi porto con c<0 potrei anche arrivare per certi valori ad avere una ellisse immaginaria giungendo a qualcosa tipo $x^2/a+y^2/b=-1$ ma non capisco bene come determinare tali valori.
2) Ho pensato che portandomi in forma matriciale riscrivo la conica:
$((x),(y))=(x,y)*((13,-4),(-4,7))*((x),(y))+(2,4)*((2),(4))-4=0$
Ora
- se tolgo i valori con $x^2$ ho la matrice 2x2: $((0,-4),(-4,7))$ e trovo gli autovalori con:
det($((0-lambda,-4),(-4,7-lambda))$)=0, cioè avrò la soluzione delle eq. di II grado: $7+-sqrt(7^2+4*16)$ ma il valore sotto radice è maggiore di 7 quando lo estraggo da essa, quindi cambia la segnatura => ho iperbole
idem per $y^2$
- se tolgo xy tanto meno
- se tolgo i valori in x, y non cambio segnatura e cosi se tolgo 4.
Sono giusti i vari casi o posso renderli meglio?
In poche parole vorrei capire come rispondere in modo formalmente migliore ai due punti, sempre pensando la mia intuizione sia quantomeno giusta (non so)
Seugiranno altri esercizi (3) nel thread GAL del forum. Spero di non rompervi troppo le scatole
però voglio proprio capire.
