Applicazione lineare/sottospazio invariante (due punti e dubbi teorici)

[periodo_vettoriano]

Mi trovo con il seguente esercizio:

f:V3 -> V3; $f((x,y,z))=(y,z,x)$

Ho già trovato la matrice associata: $((0,1,0),(0,0,1),(1,0,0))=A$

1) f ammette sottospazio invariante di dimensione 2? Si mostri un esempio (se esiste)

2) dimostrare che la composizione f∘f∘f=Id e spiegare come sfruttando questi fatti possiamo trovare tutti gli autovalori di f.

SOL:
1) Qui ho alcuni dubbi, il sottospazio invariante è da definizione data: un $H$ sottospazio t.c $f(H)$ è sottospazio di $H$.

Ecco i dubbi: di solito se ho una matrice rappresentativa di f a blocchi, trovo facilmente i sottospazi invarianti perché mi permette di trovare gli span dei vettori $e_1=(1,0,...,0), e_2=(0,1,0...,0)$ ecc.. e vedere se un dato span è ancora sottospazio dello span precedente e tutto torna a meraviglia.

Però ho un dubbio, se cambio base per la mia f ho una matrice diversa (chiamiamola A') da A, quindi non è detto che sia di nuovo a blocchi o sbaglio. Oppure essendo matrici simili vale qualcosa del tipo: se hai una matrice a blocchi due matrici simili rimangono a blocchi?

lo chiedo perché, se la mia congettura fosse corretta, avrei che: se la matrice è a blocchi individuo facilmente sottospazi invarianti, viceversa se ho sottospazi invarianti avrò una relativa matrice a blocchi.

In tal caso la matrice trovata NON è a blocchi, quindi non mi attendo sottospazi invarianti.
Spero possiate aiutarmi a capire...

2) Per la seconda domanda $(f∘f∘f)(x)=f(f(f(x)))=f(f(lambdax)$ per linearità di f è uguale a $lambdaf(f(x)))$ itero ottenendo $f(f(f(x)))=lambda^3x$
D'altra parte moltiplicando le 3 matrici tra loro dimostro che f∘f∘f=Id (infatti esce la matrice I).

Mettendo assieme ho che: $1*x=Id(x)=(f∘f∘f)(x)=lambda^3x$ => $lambda^3=1$ che in effetti è proprio pari al polinomio caratteristico uguagliazo a zero che viene $lambda^3=1$.
A questo punto uno potrebbe dire ok sono la stessa equazione e sono a cavallo, invece no, perché c'è una sottigliezza che vorrei discutere con voi:

quando scrivo il polinomio caratteristico ottengo $lambda^3=1$ e questo ci dice che gli autovalori sono tutti quelli che soddisfano tale equazione (la radice complessa appunto di 1).
OK, quando invece opero $(f∘f∘f)(x)$ io fisso uno dei vari possibili autovettori $x_0$ e trovo $lambda_0$, la nostra equazione ora dice $lambda_0^3=1$, non è che sto trovando i lambda che soddisfano l'equazione, dico che il mio autovalore al cubo -qual che esso sia- darà 1.
In poche parole sto dicendo che:
- il polinomio caratteristico ci dice tutte le lambda che risolvolo l'equazione sono autovalori (per def. di polinomio caratteristico).
- iterare f(f(f))) ci dice invece che ogni autovalore rispetta $lambda_0^3=1$
i precedenti sono due cose diverse fin qui, infatti questa seconda ci dice che ogni autovalore rispetta l'equazione ma potrebbero esserci pure dei valori che escono come soluzione di $lambda^3=1$ ma non sono autovalori!

Non capisco quindi come concludere che ottenuto $lambda_0^3=1$ per ogni autovettore/autovalore rispettivo allora trovo tutti gli autovalori

Per rendere pragmatico il discorso voglio dire mettiamo che assumo uno alla volta tutti gli autovettori x possibili, essi mettiamo che sono tutti con autovalore 1, ora $f^3$ mi dice che vale $1^3=1$, come è giusto che sia. Ma sarebbe sbagliato concludere che gli autovalori sono tutte le radici complesse di $lambda^3=1$ infattti esse potrebbero NON essere autovalori, a mio avviso non posso solo dedurlo da $(f∘f∘f)(x)$ per questi ragionamenti fatti.

Grazie.

[Noodles]

... se hai una matrice a blocchi ...

Se così fosse, una matrice non a blocchi non potrebbe essere ridotta a una matrice a blocchi (il cambiamento di base inverso trasforma una matrice a blocchi in una matrice non a blocchi).

... la matrice trovata non è a blocchi, quindi non mi attendo sottospazi invarianti.

Veramente, solo per fare un controesempio, gli autospazi di una qualsiasi matrice simmetrica non a blocchi sono sottospazi invarianti. Ad ogni modo, nel tuo caso è piuttosto evidente che almeno un piano i cui coefficienti direttori siano unitari è necessariamente invariante:

$[[barx],[bary],[barz]]=[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[x],[y],[z]] ^^ [x+y+z=0] rarr [barx+bary+barz=0]$

Per la seconda domanda ...

Intanto, potresti dare un'occhiata alla teoria relativa alle matrici idempotenti.

[periodo_vettoriano]

Procedo sui due punti con relative due domande:

Ok, ho detto una cavolata enorme. Hai ragione. Però non capisco una cosa: se io ho una matrice a blocchi posso trovare facilmente i sottospazi invarianti (l'ho visto fare molte volte ad esercitazione), tuttavia l'esercitatore ha sempre detto "i sottospazi invarianti" messa così mi sembra sbagliata perché tramite una forma a blocchi della matrice rappresentativa di f posso trovare sì sottospazi invatianti ma non tutti, è meglio dire "trovo DEI sottospazi invarianti" sbaglio?
Ti faccio un esempio mettiamo di avere una matrice diagonale con blocchi 2x2 di una matrice 4x4,
$((a,b,0,0),(c,d,0,0),(0,0,e,f),(0,0,g,h))$
generalmente è facile vedere che $span((1,0,0,0);(0,1,0,0))$ è sottospazio invariante. Così come $span((0,0,1,0);(0,0,0,1))$
ma io mi chiedo questi sono tutti i sottospazi invarianti di tale f?






Per quello che riguarda le matrice idempotenti ho guardato e mi pare che in effetti faccia proprio quello che dico io: itera la composizione e trova $lambda^n=1$ e poi risolve da lì e trova tutti gli autovalori.

Es: $λ x = A x = A^2 x = A λ x = λ A x = λ ^ x$ con $lambda=+-1 $ ma io continuo a non capire perché funzioni, proprio per i motivi che dicevo:

2) Per la seconda domanda $(f∘f∘f)(x)=f(f(f(x)))=f(f(lambdax)$ per linearità di f è uguale a $lambdaf(f(x)))$ itero ottenendo $f(f(f(x)))=lambda^3x$
D'altra parte moltiplicando le 3 matrici tra loro dimostro che f∘f∘f=Id (infatti esce la matrice I).

Mettendo assieme ho che: $1*x=Id(x)=(f∘f∘f)(x)=lambda^3x$ => $lambda^3=1$ che in effetti è proprio pari al polinomio caratteristico uguagliazo a zero: $p(lambda)=lambda^3-1=0$.
A questo punto uno potrebbe dire ok sono la stessa equazione (il polinomio caratteristico e quella ora trovata) e sono a cavallo, invece no, perché c'è una sottigliezza che vorrei discutere con voi:

quando scrivo il polinomio caratteristico ottengo $lambda^3=1$ e questo ci dice che gli autovalori sono tutti quelli che soddisfano tale equazione (la radice complessa appunto di 1).
OK, quando invece opero $(f∘f∘f)(x)$ io fisso uno dei vari possibili autovettori $x_0$ e trovo $lambda_0$, la nostra equazione ora dice $lambda_0^3=1$, non è che sto trovando i lambda che soddisfano l'equazione, dico che il mio autovalore al cubo -qual che esso sia- darà 1.
In poche parole sto dicendo che:
- il polinomio caratteristico ci dice tutte le lambda che risolvolo l'equazione sono autovalori (per def. di polinomio caratteristico).
- iterare f(f(f))) ci dice invece che ogni autovalore rispetta $lambda_0^3=1$
i precedenti sono due cose diverse fin qui, infatti questa seconda ci dice che ogni autovalore rispetta l'equazione ma potrebbero esserci pure dei valori che escono come soluzione di $lambda^3=1$ ma non sono autovalori!

Non capisco quindi come concludere che ottenuto $lambda_0^3=1$ per ogni autovettore/autovalore rispettivo allora trovo tutti gli autovalori

Per rendere pragmatico il discorso voglio dire mettiamo che assumo uno alla volta tutti gli autovettori x possibili, essi mettiamo che sono tutti con autovalore 1, ora $f^3$ mi dice che vale $1^3=1$, come è giusto che sia. Ma sarebbe sbagliato concludere che gli autovalori sono tutte le radici complesse di $lambda^3=1$ infattti esse potrebbero NON essere autovalori, a mio avviso non posso solo dedurlo da $(f∘f∘f)(x)$ per questi ragionamenti fatti.

Che a me onestamente sembrano giusti. Mi potresti aiutare a capire perché non è corretto? Ci sto proprio impazzendo

[Noodles]

Intanto, volevo precisare che, avendo considerato:

$A^3=A$

invece di:

$A^3=I$

il mio riferimento alle matrici idempotenti, anche se può essere utile, era improprio. Inoltre, per quanto riguarda la prima parte del punto 2, anche se non hai avuto problemi:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] rarr A^3=I$

Infine, per quanto riguarda la seconda parte del punto 2, volendo sintetizzare, mi sembra che tu stia sostenendo che, mentre vale:

$\lambda$ autovalore $rarr \lambda^3=1$

non vale:

$\lambda^3=1 rarr \lambda$ autovalore

Onde evitare malintesi sarebbe meglio confermare.

[periodo_vettoriano]

Grazie ancora per l'aiuto in primis.

Allora:

Intanto, volevo precisare che, avendo considerato:

$A^3=A$

invece di:

$A^3=I$

Ammetto che non ho capito dove l'ho scritto, ma se l'ho scritto era ovviamente sbagliato e un typo: intendevo sempre $A^3=I$.

Inoltre, per quanto riguarda la prima parte del punto 2, anche se non hai avuto problemi:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[0,0,1],[1,0,0],[0,1,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]] rarr A^3=I$

Certo che sì: per farla breve avevo semplicmente scritto: D'altra parte moltiplicando le 3 matrici tra loro dimostro che f∘f∘f=Id (infatti esce la matrice I). Ma quello intendevo.

Quello che abbiamo è quindi che da $A^3x=I$:
- $f(f(f(x)))=lambdaf(f(x))=[...]=lambda^3x$
&
- $Id(x)=lambdax$
Per confronto delle due:
$lambda^3=1$

Abbiamo qui dimostrato che: se ho un autovalore => rispetta $lambda^3=1$

mi sembra che tu stia sostenendo che, mentre vale:

$\lambda$ autovalore $rarr \lambda^3=1$

non vale:

$\lambda^3=1 rarr \lambda$ autovalore

Onde evitare malintesi sarebbe meglio confermare.

Sì sto dicendo quello e il motivo è presto detto, provo a riassumere:
- dal polinomio caratteristico io ottengo $lambda^3-1=0$, e per definizione gli autovalori sono quelli che risolvono questa equazione. Fin qui tutto ok perché discende dalla definizione.

- il ragionamento fatto sulle matrici idempotenti ci porta dal confronto di cui sopra a scrivere: $lambda^3=1$, uno allora potrebbe dire, stessa equazione di prima stessi autovalori risolvendola.

Però non mi pare corretto, perché in realtà il lavoro fatto sulle matrici idempotenti può solo portarmi a concludere quanto segue: se io prendo f(f(f(x))), quale che sia l'autovettore x ho che il suo autovalore correlato $lambda_0$ rispetta la condizione: $lambda_0^3=1$(*), ma di fatto io non sto dicendo che tutti i valori che risolvono (*) sono autovalori. Dico solo che se è autovalore allora rispetta quella condizione.

Da qui sorgeva il mio esempio:
mettiamo che assumo uno alla volta tutti gli autovettori x possibili di una certa f, e che tutti tali autovettori abbiano autovalore associato pari a 1 (cioè molteplicità algebrica >1), ora il discorso fatto su $f^3(x)=lambda^3x$ mi dice che essendo autovalore deve valere $1^3=1$, come è giusto che sia. Ma sarebbe sbagliato concludere che gli autovalori sono tutte le radici complesse di $λ^3=1$, infattti eventuali radici potrebbero NON essere autovalori proprio per quanto ho spiegato qui sopra.

Mi perdo in questo.

[Noodles]

Ammetto che non ho capito dove l'ho scritto ...

Non l'avevi scritto, errore mio. Ad ogni modo, se vuoi toccare con mano che non hai tutti i torti, basta considerare la matrice sottostante:

$A=[[0,1],[1,0]]$

Ebbene, poichè:

$det[[-\lambda,1],[1,-\lambda]]=0 rarr$

$rarr \lambda^2-1=0 rarr$

$rarr \lambda=-1 vv \lambda=1$

gli autovalori sono:

$\lambda=-1 vv \lambda=1$

Del resto, la doppia implicazione sottostante:

$\lambda$ autovalore $rarr \lambda$ soluzione dell'equazione caratteristica

$\lambda$ soluzione dell'equazione caratteristica $rarr \lambda$ autovalore

è sicuramente vera. Inoltre, poichè:

$[[0,1],[1,0]]*[[0,1],[1,0]]=[[1,0],[0,1]]$

la medesima matrice non soddisfa solo l'equazione sottostante:

$A^2=I$

ma anche, solo per fare un esempio:

$A^3=A$

A questo punto, se un esercizio chiedesse di verificare che:

$A^3=A$

e di spiegare come, sfruttando questi fatti, si possano trovare gli autovalori, è evidente che concludere in questo modo:

$\lambda^3=\lambda rarr$

$rarr \lambda=-1 vv \lambda=0 vv \lambda=1$

sarebbe sbagliato. Infine, poichè sono abbastanza sicuro che non esistano procedimenti più semplici, un modo per concludere il punto 2 del tuo esercizio rigorosamente sarebbe quello di scomodare la definizione di polinomio minimo e il teorema di Cayley-Hamilton. Insomma, se vuoi la mia opinione, l'autore ha sottostimato le difficoltà nel concludere rigorosamente.

[periodo_vettoriano]

Ok,
(**) quindi mi pare che condividi il fatto che avere: $f^3(x)=lambda^3x$ and $f^3=Id$ che ci porta per confronto a dire: $lambda^3=1$ non sia sufficiente a concludere da solo che gli autovalori sono tutte le radici di $lambda^3=1$

C'è però un tarlo che contunia a rimanermi, ossia che similmente: $lambdax=Ax=A^2x=Aλx=λAx=λ^2x => lambda_(1,2) in {0,1}$ si trova scritto un po' da tutte le parti come fosse un fatto ovvio del confronto succitato (es: https://en.wikipedia.org/wiki/Idempoten ... igenvalues ). ma come dicevamo non è così ovvio, proprio perché una questione simile a quella contenuta in (**)
D'altra parte spessissimo leggo anche: $A^2x=lambda^2x$ e se $A^2=I$ allora $lambda^2=+-1$ (anche in pdf universitari) ma come detto più volte questo dimostra solo che se $lambda$ è autovalore risolve alla $lambda^2=1$ ma non il contrario (cioè che se risolve è certamente autovalore).
In poche parole questi due fatti scritti così sono sbagliati? (o se vogliamo quantomeno imprecisi!? Giusto? ti chiedo conferma su queste due fatti perché voglio essere certo di averti capito bene)
Quindi mi chiedo: perché c'è scritto quella cosa sulla voce wiki? Che è solo un esempio di altre mille fonti che scrivono quella roba che a me pare sbagliata (e anche tu sembri condividere questa mia idea oppure ti ho travisato?).

Tutto questo mi confonde.

Posso garantire inoltre che il polinomio minimo non era richiesto dall'autore perché è presente nella seconda parte di corso cui questo esercizio non fa pare.

[Noodles]

... il polinomio minimo non era richiesto ...

Per quanto mi riguarda, riesco a concludere rigorosamente solo scomodando i contenuti che ho citato nel mio messaggio precedente. Dubito che si possa riuscire a concludere diversamente. Per quanto riguarda il link, poichè, se l'equazione soddisfatta dalla matrice è di 2° grado:

$A^2-A=0$

puoi concludere agevolmente, è stato dato per scontato. Se vuoi, posso approfondire considerando anche il tuo esercizio comprendente un'equazione di 3° grado:

$A^3-I=0$

Nel frattempo, poichè:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+a*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr [[a,1,0],[0,a,1],[1,0,a]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr$ impossibile

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+a*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+b*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr [[b,a,1],[1,b,a],[a,1,b]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr$ impossibile

la matrice del tuo esercizio non può soddisfare un'equazione di grado inferiore. Insomma, se l'equazione soddisfatta dalla matrice è quella di grado minimo, la doppia implicazione:

$\lambda$ autovalore $harr \lambda^3=1$

è assicurata.

[periodo_vettoriano]

... il polinomio minimo non era richiesto ...

Per quanto mi riguarda, riesco a concludere rigorosamente solo scomodando i contenuti che ho citato nel mio messaggio precedente. Dubito che si possa riuscire a concludere diversamente.

Nono, certo. Mi fido ovviamente . Non volevo dire che fosse possibile altrimenti, volevo pittosto dire che come dici tu mi sa che ha sottostimato la difficoltà ragionando in modo a mio avviso errato sulla questione $lambda^3=1$


Detto questo

Per quanto riguarda il link, poichè, se l'equazione soddisfatta dalla matrice è di 2° grado:

$A^2-A=0$

Qui avevo unificato i ragionamenti e pensavo lui concludesse così per via del fatto che diceva: $(lambda^2-lambda)x=0 =>lambda=0 or lambda=1$, ma questo ragionamento ha sempre quel problema che dicevo sui lambda: io so che gli autovalori risolvono alla $(lambda^2-lambda)x=0$ ma non che i valori che la risolvono sono autovalori.
(questo sarebbe sbagliato condividi?)

Invece, come dici tu se ragioniamo con le matrici: $A(A-I)=0$ è evidente che $A=0$ and $A=I$ le quali hanno autovalori 1 e 0.

Altresì volevo chiederti:
sei però d'accordo che

$A^2x=lambda^2x$ e se $A^2=I$ allora $lambda^2=+-1$ (anche in pdf universitari) ma come detto più volte questo dimostra solo che se $lambda$ è autovalore risolve alla $lambda^2=1$ ma non il contrario (cioè che se risolve è certamente autovalore).

non è giusto? Per quanto detto?

Insisto su questo perché non ho ben capito se ho tratto le conclusioni corrette e volevo chiedertelo direttamente , cioè se è giusto o sbagliato.

Riguardo al resto che hai scritto volevo rispondere in un messaaggio dopo, perché sennò finisce che faccio mille domande. Meglio poche ma buone... per passi.
Al momento volevo chiarire i 3 dubbi di cui sopra.

[Noodles]

Sono d'accordo con te. Danno per scontato che l'equazione soddisfatta dalla matrice è quella di grado minimo. In un messaggio precedente ti avevo già dato ragione facendo anche un esempio:

... se vuoi toccare con mano che non hai tutti i torti ...