Applicazione lineare/sottospazio invariante (due punti e dubbi teorici)

[periodo_vettoriano]

Mi accorgo solo ora che avevo capito male l'esempio di terzo grado che avevi fatto:

e di spiegare come, sfruttando questi fatti, si possano trovare gli autovalori, è evidente che concludere in questo modo: λ3=λ→ λ=−1∨λ=0∨λ=1 sarebbe sbagliato.

Ho capito solo ora, devi scusare la mia confusione. Ora è chiaro

Se vuoi, posso approfondire considerando anche il tuo esercizio comprendente un'equazione di 3° grado

Mi piacerebbe molto perché mi hai fatto ragionare su varie cose con questi messaggi

Nel frattempo, poichè:

Sono invece un attimo incastrato in questo ragionamento.
Non capisco ad esempio
$rarr [[a,1,0],[0,a,1],[1,0,a]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$
Come possa verificarsi. dato che ho alcuni 1=0? in certi punti della matrice.

[Noodles]

Non capisco ad esempio ...

Hai ragione, ho corretto. A domani.

[gandolfo_m]

Due domande anche io, anche io!

la matrice del tuo esercizio non può soddisfare un'equazione di grado inferiore

Sono incuriosito:
Non ho capito questa conclusione. Mi sembra di capire che hai imposto: (con A intesa come matrice in studio)
$A+aA^3=0$ e poi $A^2+aA+bA^3=0$ e non ho capito perché dici queste siano equazioni di grado inferiore.


Poi avrei una seconda domanda: se l'equazione di grado minimo è quella risolta dalla matrice perché gli autovalori coincidono con la risoluzione $λ^3=1$ non mi è chiaro come si deduce dal tuo ragionamento delle matrici scritte da te questa cosa.

Scusate l'intromissione ma mi incuriosice.

[Noodles]

Provo a riassumere. Intanto, partirei dal teorema sottostante:

Se una matrice quadrata A soddisfa l'equazione polinomiale di grado minimo sottostante:

$P(A)=0$

(il coefficiente di grado massimo è considerato uguale a 1)

vale la seguente doppia implicazione:

$\lambda$ autovalore $rarr P(\lambda)=0$

$P(\lambda)=0 rarr \lambda$ autovalore

Poichè la dimostrazione non è affatto banale, bisognerebbe scomodare la definizione di polinomio minimo e il teorema di Cayley-Hamilton, a mio parere basta e avanza l'enunciato.

P.S.
Devo completare prendendo in considerazione il caso in cui è assegnata un'equazione di 2° grado, vi invito a riflettere sul fatto che, almeno in questo caso, è più che lecito servirsi del teorema senza argomentare, e il caso dell'esercizio proposto in cui, essendo assegnata un'equazione di 3° grado, è necessario argomentare dimostrando che non esiste un'equazione di grado inferiore, essenzialmente quella di 2° grado. Veramente, dopo quanto illustrato, non escludo che voi possiate concludere autonomamente.

@ gandolfo_m
Per servirmi del teorema ho dovuto dimostrare che le seguenti equazioni generiche di 1° e 2° grado:

$A+aI=0$

$A^2+aA+bI=0$

non possono essere soddisfatte.

[gandolfo_m]

Avevo intuito il motivo fosse quello da te addotto ma trovo alcune problematiche a individuare le equazioni impostate. Mi spiego: la mia idea era trovare i casi $a_0+aA+bA^2=0$, dovendole avere tutte dovrei provare tutti i casi:
$aA+bA^2=0$, $a_0+bA^2=0$, $a_0+aA=0$, $A^2=0$, $aA=0$, $a_0=0$.

Però tu scrivevi:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+a*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

che mi sembra essere:

$A+aA^3=0$ (dico A^3 perché diventà l'identià per A^3)

e poi:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+a*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+b*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

che direi essere:

$A^2+aA+bA^3=0$

Quindi non capivo qualcosa di più stupido ancora, le equazioni che hai impostato.

[gandolfo_m]

Mi sono accorto che hai aggiunto una parte di messaggio, probabilmente mentre ero in scrittura. Avevo frainteso il senso di I che avevo capito come $A^3=I$ in quelle equazioni.

Ora ci sono!

[periodo_vettoriano]

A me era chiaro grazie!

Se vuoi, posso approfondire considerando anche il tuo esercizio comprendente un'equazione di 3° grado

Se hai ancora voglia ascolto eh

[Noodles]

Ottimo. Per concludere, poichè è evidente che una matrice diversa da quella sottostante:

$k*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]$

non può soddisfare un'equazione di 1° grado:

$A+aI=0$

quando soddisfa un'equazione di 2° grado:

$A^2+aA+bI=0$

il fatto che sia di grado minimo è assicurato. Motivo per il quale, almeno nel caso delle matrici idempotenti:

$A^2-A=0$

per applicare il teorema non è necessario aggiungere altro.

@ periodo_vettoriano
Poichè l'esercizio presenta una matrice che soddisfa un'equazione di 3° grado:

$A^3-I=0$

alla luce di cui sopra è sufficiente dimostrare che non soddisfa un'equazione di 2° grado:

$[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+a*[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]+b*[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr [[b,a,1],[1,b,a],[a,1,b]]=[[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]] rarr$

$rarr$ impossibile

Vero è che, dopo aver scomposto:

$A^3-I=0 rarr (A-I)*(A^2+A+I)=0$

si può anche concludere dimostrando che la matrice non soddisfa l'equazione sottostante:

$A^2+A+I=0$

Infine, se vuoi ancora approfondire il punto 1 dell'esercizio fammi sapere.

[gandolfo_m]

il fatto che sia di grado minimo è assicurato. Motivo per il quale, almeno nel caso delle matrici idempotenti:

$A^2-A=0$

per applicare il teorema non è necessario aggiungere altro.

Però questo non si deduce anche dal semplice ragionamento di "vettoriano"?

Invece, come dici tu se ragioniamo con le matrici: A(A−I)=0 è evidente che A=0 and A=I le quali hanno autovalori 1 e 0.