Esercizi su somma diretta

[gandolfo_m]

Ho un esercizio che mi crea dei dubbi:


Vorrei poter chiarire alcune domande e vedere come si risolve.

Per non mettere troppa ciccia al fuoco inizio coni primi due punti (poi farlo gli altri 2 dopo una eventuale risposta )
i) per dimostrare che sono in somma diretta e supplementari ho così fatto: V1+V2 è per definizione sottospazio di R3, ho poi mostrato che la base di V1+V2 che si trova unendo le basi dei rispettivi spazi V1 e V2 ha 3 vettori => dim(V1+V2)=3 => V1+V2=R3.
Non mi basta ora che considerare Grassman: $dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)-dim(V1∩V2)$ e notare che 3=1+2+0 => intersezione nulla => somma diretta.
La somma delle due conclusioni ci porta adire che sono supplementari.

ii) Questo è semplice in teoria ma sapete che non sono capace? Vi spiego il dubbio e vorrei capire perché non funziona questo metodo a cui ho pensato oltre a vorrei come diavolo fare

Io ho stritto gli span dei due spazi: $V_1=L((1,0,0))$ e $V_2=L((1,1,0);(0,0,1))$

Ho quindi impostato la scrittura: $((x),(y),(z))=alpha((1),(0),(0))+beta((1),(1),(0))+gamma((0),(0),(1))$
che dovrebbe darci qualunque elemento di V1+V2, ottenendo il sistema:

$alpha+beta=x$
$beta=y$
$gamma=z$
però vale anche la relazione $x-y=0$

e quindi:

$alpha=-beta+x=x-y=0$ (sostituito l'ultima della precedente in questa)
$beta=y$
$gamma=z$

ma questo vorrebbe dire che: $L((0,1,0);(0,0,1))=V1+V2$ FALSO!
Cosa sbaglio

[Quinzio]

La relazione $x-y = 0$ vale solo per $V2$.
Non ha senso applicarla come hai fatto tu.
Quello che hai fatto fino a "Ho quindi impostato la scrittura" mi sembra corretto.

[gandolfo_m]

Ho capito e ti ringrazio, in effetti non ci avevo pensato adeguatamente.
Tornando al discorso io scrivo il sistema d acui trovo i coefficienti della mia c.l:

$alpha=-y+x$
$beta=y$
$gamma=z$

da cui trovo i coefficienti che ci dicono che per ogni x,y,z ho dei rispettivi coefficienti che mi permettono di scrivere la n-upla come c.l dei tre vettori dati.

Tuttavia non capisco una cosa, io non introduco da nessuna parte la condizione che ci sia una somma diretta, uso il solito procedimento per trovare i coefficienti in pratica di una qualsiasi base di vettori, ma cosa mi garantisce che la richiesta "in somma diretta" sia verificata se non aggiungo alcuna condizione rispetto al procendimento "classico" di trovare coefficienti?

Detto ciò possiamo sbloccare gli altri due punti su cui volevo chiedervi conferme o smentite della mia soluzione , se vi va:

3) Si richiede la mappa di proiezione su V2. sappiamo poi che $V_2$ è dato dalla condizione $x-y=0$, quindi un suo vettore è dato da $(x,x,z)$ oppure da $(y,y,z)$, quindi immagino f lavori così:
$f((1,0,0))=(1,0,0)$
$f((0,1,0))=(1,0,0)$
$f((0,0,1))=(0,0,1)$

Quindi direi che la matrice è: $((1,1,0),(0,0,0),(0,0,1))$?
Volevo chiederti/vi se è corretto e come dire meglio la mia idea perché non mi convince formalmente la parte sottolineata sopra.


4) Infine

- ker f lo trovo impostando: $(((1,1,0),(0,0,0),(0,0,1)))*((x),(y),(z))=0$
- Im f è lo spazio delle colonne della mia matrice, quindi riduco per righe la:

$((1,0,0),(1,0,0),(0,0,1))$
(ho disposto per righe i precedenti voettori colonna)

I vettori riga linearmente indipendenti della matrice saranno la base di Im(f)
Questo quarto punto mi pare ok no?

Grazie di nuovo.

[Quinzio]

La matrice corretta mi sembra

$\bb f = ((0,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$

Cosi':

$\bb {f}\ (1,0,0)^T = (0,0,0)^T$
$\bb {f}\ (0,1,0)^T = (1,1,0)^T$
$\bb {f}\ (0,0,1)^T = (0,0,1)^T$

Ovvero vengono generati solo vettori che appartengono a $V_2$.
I vettori appartenenti a $V_1$ vengono soppressi.

Senza grossi sforzi...
$Ker(\bb f) = (1,0,0)$,
$Im(\bb f) = RR^3$.

[gandolfo_m]

EDIT: ho capito un errore mentre scrivevo il precedente messaggio

Volevo analizzare con te solo 3 punti per capire meglio:

1) Riguardo il mio ultimo post

Tornando al discorso io scrivo il sistema d acui trovo i coefficienti della mia c.l:

$alpha=-y+x$
$beta=y$
$gamma=z$

da cui trovo i coefficienti che ci dicono che per ogni x,y,z ho dei rispettivi coefficienti che mi permettono di scrivere la n-upla come c.l dei tre vettori dati.

Tuttavia non capisco una cosa, io non introduco da nessuna parte la condizione che ci sia una somma diretta, uso il solito procedimento per trovare i coefficienti in pratica di una qualsiasi base di vettori, ma cosa mi garantisce che la richiesta "in somma diretta" sia verificata se non aggiungo alcuna condizione rispetto al procendimento "classico" di trovare coefficienti?

Se hai tempo e voglia volevo capire il perché, ci ragionavo un po' sopra ma non ho capito il motivo.

2)

Si richiede la mappa di proiezione su V2. sappiamo poi che $V_2$ è dato dalla condizione $x-y=0$, quindi un suo vettore è dato da $(x,x,z)^t$ oppure da $(y,y,z)^t$,

Volevo chiederti se qui ho capito il mio errore, e lo spiegherei così: in sostanza è sbagliato perché l'equazione $x-y=0$ vale per il sottospazio V_2 mentre io andavo a sostituire i valori x,y,z di R3 in f(x,y,z) e li usavo nelle immagini dicendo che era (per via di y=x): $(x,x,z)^t$ oppure $(y,y,z)^t$. Ma sbagliavo perché questa non è l'immagine.

Ora volevo chiederti se quanto ho appena detto è giusto se la matrice si trova così invece in modo corretto:
Riprendo la

$((x),(y),(z))=alpha((1),(0),(0))+beta((1),(1),(0))+gamma((0),(0),(1))$

e ricordando i valori dei coefficienti trovati col sistema ho che:

$((x),(y),(z))=(-y+x)((1),(0),(0))+y((1),(1),(0))+z((0),(0),(1))$

che è un qualsiasi vettore di R3 scritto in somma diretta con vettori dei due sottospazi.
A questo punto $f((x),(y),(z))=v_2$ e l'immagine sarà un vettore scrivo così:

$v_2=y((1),(1),(0))+z((0),(0),(1))$ dato che escludo v_1 che è: $(-y+x)((1),(0),(0))$.

A questo punto sostituendo la base canonica ho:
$f(1,0,0)^t=(0,0,0)^t$ (non avendo parti in x)
mentre:
$f(0,1,0)^t=(1,1,0)^t$
$f(0,0,1)^t=(0,0,1)^t$

E' corretto il procedimento?

3)

Im(f)=R3.

Sei sicuro? Perché stando a qullo che hai scritto tu avresti:
f (1,0,0)=(0,0,0)
f (0,1,0)=(1,1,0)
f (0,0,1)=(0,0,1)
e a me pare non possa uscire tutto R3, i vettori LI sono solo 2! e im(f) è dato dallo span delle immagini, quindi come escono 3 vettori L.I? Non molto chiaro