Ho un esercizio che mi crea dei dubbi:
Vorrei poter chiarire alcune domande e vedere come si risolve.
Per non mettere troppa ciccia al fuoco inizio coni primi due punti (poi farlo gli altri 2 dopo una eventuale risposta )
i) per dimostrare che sono in somma diretta e supplementari ho così fatto: V1+V2 è per definizione sottospazio di R3, ho poi mostrato che la base di V1+V2 che si trova unendo le basi dei rispettivi spazi V1 e V2 ha 3 vettori => dim(V1+V2)=3 => V1+V2=R3.
Non mi basta ora che considerare Grassman: $dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)-dim(V1∩V2)$ e notare che 3=1+2+0 => intersezione nulla => somma diretta.
La somma delle due conclusioni ci porta adire che sono supplementari.
ii) Questo è semplice in teoria ma sapete che non sono capace? Vi spiego il dubbio e vorrei capire perché non funziona questo metodo a cui ho pensato oltre a vorrei come diavolo fare
Io ho stritto gli span dei due spazi: $V_1=L((1,0,0))$ e $V_2=L((1,1,0);(0,0,1))$
Ho quindi impostato la scrittura: $((x),(y),(z))=alpha((1),(0),(0))+beta((1),(1),(0))+gamma((0),(0),(1))$
che dovrebbe darci qualunque elemento di V1+V2, ottenendo il sistema:
$alpha+beta=x$
$beta=y$
$gamma=z$
però vale anche la relazione $x-y=0$
e quindi:
$alpha=-beta+x=x-y=0$ (sostituito l'ultima della precedente in questa)
$beta=y$
$gamma=z$
ma questo vorrebbe dire che: $L((0,1,0);(0,0,1))=V1+V2$ FALSO!
Cosa sbaglio