Miscellanea domande veloci su A.L (ortogonalizzazione, phi-ortogonale, composizione...)

[gandolfo_m]

Mentre nell'esercizio dell'altra discussione avevo molte idee (seppur sbagliate) da cui partire. Io in queste semplici domande sono totalmente paralizzato:



Vorrei chiedervi un gentile aiuto perché mi piacerebbe un sacco riuscire a rispondere adeguatamente a tutte e 5. Ma sebbene abbia studiato teoria e fatto esercizi... non so come e da dove partire per rispondere praticamente a tutte e ciò mi rattrista.

Partiamo dalle prime due:

1) per la prima ho avuto una idea, ossia mettermi in V3 e fare un controesempio che mostrava che è impossibile quanto richiesto, ad esempio prendere $B={i,j,k}$ e un $B'={sqrt(2/3)*((sqrt2/2),(sqrt2/2),(sqrt2/2));((sqrt2/2),(-sqrt2/2),(0));((sqrt2/2),(0),(-sqrt2/2))}$
e se non erro con B' non posso trovare B ortogonalizzando con G-S. Funziona? Sennò come potrei rispondere alla domanda?

2) la due ho girato le definizioni che conosco in tutti i modi ma non sono riuscicto a cavare un ragno dal buco

Grazie.

[megas_archon]

1. Puoi rispondere semplicemente osservando che l'algoritmo di ortonormalizzazione ti dà una ben precisa base ortonormale, non è un modo per portarne una in una qualsiasi prescritta.

2. Discende dal fatto che dualmente (nel senso della teoria dei reticoli, non della dualità canonica di spazi vettoriali, sebbene l'ortogonale sia legato al duale nel secondo senso) per ogni coppia di sottospazi $A,B$ si ha \((A+B)^\perp = A^\perp \cap B^\perp\) (che è molto piu facile da dimostrare, per doppia inclusione), e da questo, prendendo gli ortogonali rispettivi, e scegliendo \(A=U^\perp,B=W^\perp\) hai la tua tesi.

4. E' una assoluta banalità, le isometrie sono invertibili.

Alle altre due (che sono a loro volta asolute banalità) ti lascio pensare da solo.

[gandolfo_m]

Grazie per le risposte.

4) è vero ogni isometria è un isomorfismo => ker={0}

Resto:
Devo però mostrare che \((A+B)^\perp = A^\perp \cap B^\perp\) equivale a quello che devo dimostrare nel testo della foto, perché non mi pare così ovvio per le mie conoscenze e non saprei farlo quindi ho solo traslato il problema su un'altra cosa che non so fare .


Per il punto 5) onestamente avevo pensato a un controesempio scemo:
$A=((1,0),(0,0))$ => si ha $f_A$ che rispetta la richiesta di composizione, però volevo trovare qualcosa di più profondo per questo chiedevo a voi.

per il punto 3) invece non so bene come fare, io so che la somma diretta è "scrittura in modo unico di un v=v1+v2" con v1 e v2 appartenente a due sottospazi, oppure che $V_1$ intersecato $V_2$ è il sottospazio banale ${0}$. Non capisco perciò come sfruttare questi fatti per giungere a dimostrazione.
Perché avevo pensato di sfruttare anche la linearità f(v1+v2)=f(v1)+f(v2) quindi un qualsiasi v scritto come somma diretta si spezza così nelle immagini, tuttavia la restrizione f(v1) e/o f(v2) non è mica detto appartengano ancora a V1 e V2 rispettivamente.

[megas_archon]

Devo però mostrare che \((A+B)^\perp = A^\perp \cap B^\perp\) equivale a quello che devo dimostrare nel testo della foto

Come ti ho detto, si fa per doppia inclusione; \((A+B)^\perp \subseteq A^\perp \cap B^\perp\) e \((A+B)^\perp \supseteq A^\perp \cap B^\perp\).

Volevo trovare qualcosa di più profondo per questo chiedevo a voi.

Non c'è bisogno di trovare niente di più profondo, come ti ho detto è una banalità (falsa), c'è pieno di controesempi.

per il punto 3) invece non so bene come fare

Innanzitutto è vero o è falso?

[gandolfo_m]

Grazie per la tua pazienza e l'ulteriore risposta megas_archon

Come ti ho detto, si fa per doppia inclusione; \((A+B)^\perp \subseteq A^\perp \cap B^\perp\) e \((A+B)^\perp \supseteq A^\perp \cap B^\perp\).

No, aspetta, mi sono spiegato male, perdonami.
Volevo dire che prima di dimostrare la doppia inclusione volevo capire perché:
\((W_1+W_2)^\perp = W_1^\perp \cap W_2^\perp\) $<=> W_1 ∩ W_2 = (W_1^⊥+W_2^⊥)^⊥$.
Non ho capito quella cosa dei reticoli che onestamente non ho ancora visto (?)



Per la 3) in realtà non lo so, avessi trovato all'istante un controesempio avrei conlcuso falsa, ma non venendomi idee pensavo di esplorare la via del "è vero". Come potrei dirlo a priori se è vero o falso? (quando devo dire se una cosa è vera o falsa quindi dimostrabile o trovare un controesempio devo andare un po' a "istinto" e qua non ho grandi idee).
Di fatto potrebbe anche essere falso, perché appunto non è detto che l'endomorfismo: (con $v1 in V_1$ e $ V_2 in V2$ $f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)$ freservi il fatto che $f(v1) in V_1$, potrebbe per quanto ne so esistere un endomorfismo che pone: $f(v1) in V_2$.
Insomma, sono indeciso .

[megas_archon]

Come ti ho detto, si fa per doppia inclusione; \((A+B)^\perp \subseteq A^\perp \cap B^\perp\) e \((A+B)^\perp \supseteq A^\perp \cap B^\perp\).

No, aspetta, mi sono spiegato male, perdonami.
Volevo dire che prima di dimostrare la doppia inclusione volevo capire perché:
\((W_1+W_2)^\perp = W_1^\perp \cap W_2^\perp\) $<=> W_1 ∩ W_2 = (W_1^⊥+W_2^⊥)$.

Ma è ovvio, e te l'ho già detto: \[(U^\perp+W^\perp)^\perp = U^{\perp\perp}\cap W^{\perp\perp} = U\cap W\]

Per la 3) in realtà non lo so, avessi trovato all'istante un controesempio avrei conlcuso falsa, ma non venendomi idee pensavo di esplorare la via del "è vero". Come potrei dirlo a priori se è vero o falso? (quando devo dire se una cosa è vera o falsa quindi dimostrabile o trovare un controesempio devo andare un po' a "istinto" e qua non ho grandi idee).
Di fatto potrebbe anche essere falso, perché appunto non è detto che l'endomorfismo: (con $v1 in V_1$ e $ V_2 in V2$ $f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)$ freservi il fatto che $f(v1) in V_1$, potrebbe per quanto ne so esistere un endomorfismo che pone: $f(v1) in V_2$.
Insomma, sono indeciso .

Confronta \(f(X\cap Y)\) e \(fX\cap fY\) in generale.

[gandolfo_m]

Non so la parola reticolo mi aveva spaventato non conoscendola e pesanvo usassi qualcosa di non noto a me, allora devo provare a capire l'ovvietà di \[(U^\perp+W^\perp)^\perp = U^{\perp\perp}\cap W^{\perp\perp} = U\cap W\], in sostanza.



Passando all'altro...
In generale direi che:
$f(X∩Y)={f(x)|x in X and x in Y}$ nello specifico: $X∩Y={0}$ poiché in somma diretta (oss: $f(X∩Y)={0}$)

Mentre:
$fX∩fY$ dice che un qualsiasi elemento che stia nell'intersezione ($f(x) in fX∩fY$) avrà la caratteristica:
$f(x) in f(X) and f(x) in f(Y)$ da cui per definizione:

$f(x) in {f(x)|x in X} and f(x) in {f(x)|x in Y}=>$
$=> f(x) in {f(x)|x in X and x in Y} =>$ (somma diretta quindi x in X e x in Y dice x=0)
$=> f(x) in {f(x)|x =0} =>$
$=> f(x) in {f(0)} => f(x) in {0} => f(x)=0 $
Qualsiasi elemento che fa parte di $fX∩fY$ è nullo, quindi $fX∩fY={0}$ quindi preserva una somma diretta f(X)+f(Y) sottospazio.
Giusto o dico caxate?

[megas_archon]

$fX∩fY$ dice che un qualsiasi elemento che stia nell'intersezione ($f(x) in fX∩fY$) avrà la caratteristica:
$f(x) in f(X) and f(x) in f(Y)$

A parte essere scritto à la façon de la singe, questo sta supponendo che l'intersezione delle immagini sia l'immagine dell'intersezione, che è proprio ciò che è falso. Invece, inizia notando che se \(U,V\) sono in somma diretta, \(x\in fU\cap fV\) deve essere tale che \(fu=x=fv\), sicché \(u-v\in\ker f\); ora...

[gandolfo_m]

Aspetta, non mi è chiaro perché:

questo sta supponendo che l'intersezione delle immagini sia l'immagine dell'intersezione, che è proprio ciò che è falso.

A me sembrava che si volesse studiare l'insieme $fX∩fY$, quindi dicevo: un elemento
$s in F(X) ∩ F(Y) <=> s in F(X) and s in F(Y)$ (*) mi sembrava di affermare quello, ove $s:=f(x)$

Poi dicevo: per def. di immagine: $f(X)={f(x)∣x∈X}$ e $f(Y)={f(x)∣x∈Y}$

Utilizzando all'interno di quanto detto qui (*) ho

$f(x) in {f(x)|x in X} and f(x) in {f(x)|x in Y}=>$
$=> f(x) in {f(x)|x in X and x in Y} =>$ (ma X e Y sono in somma diretta quindi x in X e x in Y dice x=0)
$=> f(x) in {f(x)|x =0} =>$
$=> f(x) in {f(0)} => f(x) in {0} => f(x)=0 $
Qualsiasi elemento $s=f(x)$ che fa parte di $fX∩fY$ è nullo, quindi $fX∩fY={0}$ quindi preserva una somma diretta f(X)+f(Y) sottospazio.

Non comprendo l'inghippo

u−v∈kerf; ora...

$x=0$

[megas_archon]

L'inghippo è che per una funzione non iniettiva, \(f(A\cap B)\) è un sottoinsieme proprio di \(fA\cap fB\).