sto cercando di capire la dimostrazione 4.12 del Sernesi di Geometria 1.
Il testo recita:
"Sia \(\displaystyle \{ v_1, ..., v_n\}\) un sistema di generatori di \(\displaystyle V \) \(\displaystyle K \)-spazio vettoriale e siano \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) elementi di \(\displaystyle V \). Se \(\displaystyle m > n \) allora \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) sono linearmente dipendenti."
Inizia la dimostrazione dicendo che:
"Se \(\displaystyle w_1, ..., w_n \) sono linearmente dipendenti lo sono anche \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) (e fin qui tutt'appò). Pertanto non sarà restrittivo dimostrare l'asserto supponendo che \(\displaystyle w_1, ..., w_n \) siano linearmente indipendenti."
Su quest'ultima frase mi sono bloccato. Mi sento stupido a dir la verità. Come è possibile che prima siano linearmente dipendenti e poi sono linearmente indipendenti, a me sembra restrittivo invece. O uno o l'altro. Non capisco questo passaggio che è fondamentale per proseguire con la dimostrazione che a quanto ho capito è importante per capire la dimensione delle basi di uno spazio vettoriale.
Spero in una risposta a questo mio dubbio
