Densità in topologia

[LucaGua81]

Ciao a tutti,
premetto che sono un autodidatta, quindi la mia padronanza tecnica degli argomenti è approssimativa.
Mi sto avventurando nello studio della topologia e ci sono parecchi concetti che faccio fatica a comprendere. O meglio, a visualizzare.
Uno di questi è quello di densità.
Ci sono tre definizioni di densità negli spazi topologici che ho trovato:
1) "Un sottoinsieme A di X è denso in X se l'unico sottoinsieme chiuso di X contenente A è X stesso, ovvero la chiusura di A è X". Questo credo di visualizzarlo abbastanza bene: un sottoinsieme è denso in X, se ogni punto di X appartiene ad A o è estremamente vicino ad A e quindi è nella chiusura di A (perdonate come sempre le brutalità tecniche, ma è solo per visualizzare la cosa)
2) "Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X interseca A". Qui proprio brancolo nel buio. Qualcuno può aiutarmi?
3) "Se A e B sono sottoinsiemi di uno spazio topologico e A⊂B diremo che A è denso in B se B⊂[A] " Qui ho un dubbio: se A⊂B e B⊂[A], B e la parte interna di A non dovrebbero coincidere?

Vi ringrazio in anticipo per i chiarimenti che potrete darmi e mi scuso se sono troppo zuccone.
Luca

[megas_archon]

devi mostrare che le due definizioni di densità sono equivalenti, cioè che $A$ è denso (in $X$: la densità è sempre relativa a uno spazio ambiente) secondo la definizione 1 se e solo se è denso secondo la definizione 2.
Prova a pensare al motivo; un suggerimento per iniziare a capirlo è mostrare che, se $U$ è un aperto non vuoto che non interseca $A$, $U^c$ (il complementare di $U$) è un chiuso che contiene $A$, e che è più piccolo di tutto $X$. Quindi \(\lnot 2\Rightarrow\lnot 1\). Se riesci a capire questa dimostrazione, l'implicazione inversa si basa sulla stessa idea.

Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?

[j18eos]

[...] Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?

Credo che s'intenda \(\overline{A}\) (la chiusura di \(A\)).

[LucaGua81]

devi mostrare che le due definizioni di densità sono equivalenti, cioè che $A$ è denso (in $X$: la densità è sempre relativa a uno spazio ambiente) secondo la definizione 1 se e solo se è denso secondo la definizione 2.
Prova a pensare al motivo; un suggerimento per iniziare a capirlo è mostrare che, se $U$ è un aperto non vuoto che non interseca $A$, $U^c$ (il complementare di $U$) è un chiuso che contiene $A$, e che è più piccolo di tutto $X$. Quindi \(\lnot 2\Rightarrow\lnot 1\). Se riesci a capire questa dimostrazione, l'implicazione inversa si basa sulla stessa idea.

Per quanto riguarda 3, cos'è $[A]$?

Ti ringrazio. Ho capito il punto 2. Ho solo un dubbio: perché U deve essere non vuoto? La definizione 1 non sarebbe violata anche se U fosse vuoto visto che, intuitivamente, ci sarebbe comunque un "buco" in X?
Nel punto 3 confermo che [A] è la chiusura di A. Come ti dicevo, se A⊂B e B⊂[A], mi sembra che B e la parte interna di A coincidano. Volevo capire se è un'idea corretta

[megas_archon]

Se $U$ è vuoto, non c'è nessun buco in \(X\setminus U=X\)...

Nel punto 3, $QQ$ è denso in $RR$, ma ha interno vuoto, e certamente $RR$ non è vuoto. Questo per dire che $A$ potrebbe tranquillamente avere interno vuoto ed essere denso.

La topologia generale è controintuitiva, sì.

[LucaGua81]

Se $U$ è vuoto, non c'è nessun buco in \(X\setminus U=X\)...

Nel punto 3, $QQ$ è denso in $RR$, ma ha interno vuoto, e certamente $RR$ non è vuoto. Questo per dire che $A$ potrebbe tranquillamente avere interno vuoto ed essere denso.

La topologia generale è controintuitiva, sì.

Ti ringrazio. Ho capito il punto 2, ma non il punto 3. Perché parli di interno vuoto per A? Sicuramente c'è qualcosa che mi sfugge nella definizione

[megas_archon]

Sì, c'è sicuramente qualcosa che non capisci nella definizione di interno, perché te lo immagini come qualcosa di esteso, se il sottoinsieme è esteso. Non è così: c'è pieno di insiemi che sono abbastanza rarefatti da avere interno vuoto, ma abbastanza sparsi dappertutto da esser densi. L'esempio classico è $QQ$ in $RR$: è denso, come potrai facilmente dimostrare, e ha interno vuoto, come potrai facilmente dimostrare.