Omomorfismo tra sottospazi supplementari

[Brufus]

Siano $P$ e $Q$ sottospazi vettoriali supplementari dello spazio vettoriale $V$. La dimensione di $P$ vale $k$ e quella di $Q$ vale $n-k$. Sia $X : P \rightarrow Q$ un omomorfismo da $P$ in $Q$. Allora

a) il grafico di $X$ può essere identificato con un sottospazio $k$ -dimensionale $\Gamma(X)=\{v+X(v): v \in P\}$.
b) $\Gamma(X) \cap Q= \{0\}$.

Qualcuno può darmi un'idea della dimostrazione dei punti a e b?

[Brufus]

La prima parte ho risolto, basta far vedere che la mappa $\Psi(v)=v+X(v) $ è iniettiva.

[Brufus]

Per il punto b voglio mostrare che $\Gamma( X) cap Q=\{0\}$. Allora se esistesse un vettore non nullo $w$ nell'intersezione si avrebbe $w=v+X(v)$ con $w \in Q$ e $v \in P$ . Ma allora avremmo $v=w-X(v)$ che implica $v=0$ poiché i sottospazi sono supplementari e quindi anche $w=0$ . Non so se il ragionamento è corretto

[j18eos]

Scusami, ma la definizione di grafico di una funzione è la seguente:
\[
\Gamma(X)=\{(x,X(x))\in P\times Q\mid x\in P\}.
\]
Dimostri che questi è uno spazio vettoriale (su \(\mathbb{K}\)), e poi procedi come hai fatto.

...e sì: hai ragionato bene!

[Brufus]

Scusami, ma la definizione di grafico di una funzione è la seguente:
\[
\Gamma(X)=\{(x,X(x))\in P\times Q\mid x\in P\}.
\]
Dimostri che questi è uno spazio vettoriale (su \(\mathbb{K}\)), e poi procedi come hai fatto.

...e sì: hai ragionato bene!

Certo è vero, infatti ho specificato che il grafico può essere identificato con quel sottospazio. In effetti si dovrebbe mostrare.