Rivestimento di $S^1xxS^1$ e azione di monodromia

[andreadel1988]

Descrivere il rivestimento di $S^1xxS^1$ che corrisponde al sottogruppo ciclico infinito generato da $(1,1)inZZxxZZ$. Descrivere l’azione di monodromia: in che modo i due generatori $a=(1,0)$ e $b=(0,1)$ agiscono sulla fibra sopra il punto base? Come agisce $ab=(1,1)$?

Consideriamo il rivestimento universale dato da $p:RR^2->S^1xxS^1$ definito come $p(x,y)=(e^(2pi i x),e^(2pi i y))$, mi basta ora quozientare $RR^2$ pe il gruppo generato dalla traslazione del vettore $(1,1)$ (cioè identificare coppie di punti di $RR^2$ che differiscono per un multiplo intero di $(1,1)$) che è isomorfo in modo naturale a $ZZ$. Per cui definisco l'azione di gruppo $\varphi: RR^2xxZZ->RR^2$ definita come $\varphi(x,y,n)=(x+n,y+n)$ e quoziento $RR^2$ per questa azione di gruppo che scrivo come $RR^2//ZZ$. Ora faccio passare $p$ al quoziente e questo mi induce $\tilde p:RR^2//ZZ->S^1xxS^1$ definito come $\tilde p($ $[$ $(x,y)])=(e^(2pi i x),e^(2pi i y))$ (notare che tale funzione è ben definita).
Sia $x_0$ punto base di $S^1xxS^1$ e sia $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0)]in \tilde p^-1(x_0)$, allora l'azione di $a$ su $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0)]$ lo manda in
$[$ $(\tilde x_0+1,\tilde y_0)]$ , mentre l'azione di $b$ su $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0)]$ lo manda in $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0+1)]$, quindi in entrambi i casi non succede niente di che. Nel caso dell'azione di $ab$ notiamo che manda $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0)]$ in $[$ $(\tilde x_0+1,\tilde y_0+1)]$ che è uguale a $[$ $(\tilde x_0,\tilde y_0)]$, per cui $ab$ agisce identicamente.

Volevo sapere se andasse bene, grazie.