Mappa lineare indotta

[Cannone Speciale]

Ciao a tutti, ho letto e riletto più volte questo passaggio del libro General Topology di John Kelley, ma non riesco a capirlo. Riporto il testo in inglese "Suppose $f$ is a linear function on $X$ to $Y$ and $g$ is a linear map on $X$ onto $Z$ such that the null space [cioè il nucleo] of $f$ contains the null space of $g$. Then there is a unique linear function $h$ on $Z$ to $Y$ such that $f = h@g$ (explicitly $h(z)$ is the unique member of $f@g^-1[z]$). A particular consequence of this fact is that each linear function may be written as a projection into a quotient space followed by a one-to-one linear function."

[megas_archon]

Considerato il titolo, $X,Y,Z$ sono spazi vettoriali topologici? Mi sembra che non contenga altro che un asserto, che o viene dimostrato dopo, o va dimostrato da te.

Un modo molto rapido di dimostrarlo è usare il lemma dei 5 https://ncatlab.org/nlab/show/five+lemma dato che la tua situazione è questa:
\[\begin{CD}
\ker f @>>> X @>>> Y @>>> \text{coker } f @>>> 0\\
@AAA @| @. @AAA @|\\
\ker g @>>> X @>>> Z @>>> 0 @>>> 0
\end{CD}\] e tu vuoi indurre un monomorfismo $Z\to Y$. Ma hai monomorfismi in tutte le altre posizioni verticali (e altrove, zeri e le loro identità), e questo ti basta a concludere.

Altrimenti, se uno ha l'ipogonadismo, può ragionare così (ma la dimostrazione non è altro che una maniera di dimostrare, con molta piu fatica, il lemma dei 5 per spazi vettoriali topologici):

- definisce $h$ proprio come dice quel marpione di Kelley, cioè, dato \(z\in Z\), scegliendo un elemento $e_z$ di \(g^{-1}(z)\) e poi applicando $f$ a $e_z$.
- E se scelgo un altro $d_z$ anche lui nella controimmagine di $z$ mediante $g$? Beh, è proprio qui che usi l'ipotesi: $e_z,d_z$ differiscono per un elemento di \(\ker g\), che è contenuto in \(\ker f\), dunque \(f(e_z)=f(d_z)\) e quella che hai definito è una funzione; è lineare, e ovviamente fattorizza $f$ lungo $g$, dato che \(h(g(z))=f(z)\) per definizione.
- Resta da mostrare che $h$ è iniettiva, e questo mi sembra molto difficile da fare con gli elementi; appoggiandosi al lemma dei 5, invece, è una conseguenza immediata.

[Cannone Speciale]

Grazie mille per avermi risposto, credo che X,Y e Z siano spazi vettoriali perchè un attimo prima li aveva definiti, però in questo paragrafo è stato molto meno minuzioso rispetto alle pagine precedenti. Si può mostrare più facilmente con gli spazi vettoriali? Perchè io ancora non so bene cosa sia uno spazio topologico e men che meno un monomorfismo, gli spazi topologici sono trattati più avanti nel libro (il testo che ho postato si trova nei preliminari, ovvero il capitolo 0)

[megas_archon]

Si dimostra esattamente allo stesso modo per gli spazi vettoriali (con qualche verifica in meno, per esempio che h sia continua). In quel caso, se vuoi un altro argomento ancora, usando il primo teorema di isomorfismo unito al fatto che g è suriettiva, definisci h in modo unico. Con un po' di lavoro, poi, fai vedere che h è iniettiva.

Evidentemente non sai l'algebra lineare, cosa che per Kelley è un prerequisito (così come lo è, citando un mio vecchio professore, per qualsiasi essere umano voglia dirsi una persona istruita). Studiane un po' e questo fatto ti apparirà in tutta la sua abbagliante banalità.

[Cannone Speciale]

Però io così non ho ancora capito, e comunque mi sembra di aver trovato un problema: se nell'insieme X ci sono due punti $x_1$ e $x_2$ che vengono mappati da $f$ in $f(x_1)=0_Y$ e $f(x_2)=y_2$ mentre da g vengono mappati nello stesso punto $z_1$ come è definita la funzione $h=f@g^-1$ in $z_1$?

[megas_archon]

Per ipotesi, non cambia quale sia il rappresentante di \(g^{-1}(z)\) che scegli. La sua immagine mediante f è la stessa.

[Cannone Speciale]

quale ipotesi? Quindi stai dicendo che non può accadere la situazione che ho descritto? A me sembra corretta.

[megas_archon]

quale ipotesi?

\(\ker g\le\ker f\).

[Cannone Speciale]

Sono riuscito a dimostrare l'asserto, tuttavia questo fatto non mi appare evidente purtroppo. Riporto la mia dimostrazione, così magari mi puoi dire se è corretta.

Ogni applicazione lineare può essere rappresentata da una matrice, quindi se $ T_{ij} x_j = T_{ij} y_j $ implica $ T_{ij} (x_j - y_j) = 0 $ quindi $ (x_j - y_j) in Ker(T) $ . Quindi se prendo un rappresentante di $ g^-1(z) $ che chiamo $x_0$ la controimmagine di z tramite g è data da $ g^-1(z) = x_0 + Ker(g) $ ma dato che il nucleo di g è contenuto nel nucleo di f applicando f a questo insieme ottengo l'unico elemento $ f(x_0) $. Ora dimostro la linearità:
$ g^-1(alpha z_1 + beta z_2) = {x in X | g(x) = alpha z_1 + beta z_2} $ ma $ AA z_1, z_2 EE x_1, x_2 $ t.c. $ g(x_1,2)=z_{1,2} $ allora $ g^-1(alpha z_1 + beta z_2) = {x in X | g(x) = alpha g(x_1) beta g(x_2)} $ per la linearità di $g$ questo è uguale a $ {x in X | g(x) = g( alpha x_1 + beta x_2)} $. Per quanto detto prima gli elementi della controimmagine di g differiscono al più per un elemento del nucleo di g quindi si ha
$ g^-1(alpha z_1 + beta z_2) = {x = alpha x_1 + beta x_2 + Ker(g)}$. Applicando f a questo insieme si ottiene
$ alpha f(x_1) + beta f(x_2) = alpha f(x_1 + Ker(g)) + beta f(x_2 + Ker(g)) = alpha f(g^-1(z_1)) + beta f(g^-1(z_2)) $

L'asserto sul gruppo quoziente l'ho capito pure si ottiene quozientando l'insieme X di partenza rispetto al nucleo di g e poi applicando una funzione 1 a 1.

[j18eos]

Mi sembra corretta, a parte qualche errore nel codice \(\LaTeX\)!