Chiarimento definizione

[mario99]

Non riesco a capire questa definizione, o meglio non riesco a spiegare il perché della prima asserzione. Qualcuno riesce a spiegarla? Grazie mille!

[Martino]

Cos'è $N_k$? E cos'è $B$?

[j18eos]

Questa definizione ha a che fare con la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata?

P.S.: invece di caricare un'immagine, dovresti scrivere il testo!

[mario99]

Cos'è $N_k$? E cos'è $B$?

Sto studiando la forma canonica di Jordan. Sul testo viene enunciato il teorema (di Jordan), ma prima di dimostrarlo parla di alcuni concetti, come questo.
Si considera una matrice \( B\in M_n (K) \) con rango minore di n, e le sue potenze \( B^2 \dots B^m \) e quindi definisce l'insieme \( N_m = \{x\in K^n : B^m x = 0 \}\), ponendo \( N_0=<0>\). Si ha \(N_0 \subset N_1 \subset N_2 \dots\). (•)
Dopo definisce l'insieme \( W_m\), immagine dell'operatore definito da \(B^m\), e si dimostra che se esiste un m per cui
\( W_m=W_{m+1}\) allora \( W_m=W_{m+1}= W_{m+2}=W_{m+3}=\dots\). Quindi considerato q il più piccolo numero per cui ciò accade, si ha anche \( N_q=N_{q+1}= N_{q+2}=N_{q+3}=\dots\)
In ogni caso credo di aver capito, alla fine era una cavolata. In sostanza tutto dipende dal fatto che gli insiemi \(N_i\) soddisfano quella proprietà (•) e quindi se prendo un vettore v in \(N_q\), si ha o \(v\in N_q\ \wedge v\notin N_m \quad m<n\), e quindi il k della definizione è proprio q. Oppure
\(v\in N_k \quad k<n\),
Passando avanti ho avuto problemi con la dimostrazione del teorema di Jordan, però dato che è una domanda diversa, farò un altro post

[j18eos]

Ma non fai prima a notare che la catena ascendente degli \(N_k\) deve terminare per la finita dimensionalità di \(\mathbb{V}\)?