Forma canonica di Jordan

[mario99]

Seguendo il Sernesi, riporto il discorso\ragionamento che poi porterà a dimostrare l'esistenza e l'unicità della forma canonica di Jordan.Vengono date queste definizioni:
Sia \(B\in M_{n}(K)\) con rango minore di n; consideriamo le sue successive potenze
\(B^2, B^3 \dots\) e sia
\(N_m = \{ x\in K : B^mx=0\}\);
(quindi il nucleo dell'operatore definito dalla matrice \(B^m\)
Posto \(N_0 =span(0)\) si ha:
\(N_0 \subset N_1 \subset N_2 \subset \dots\)
Da un certo "q" in poi, si ha \(N_q = N_{q+1} = N_{q+2} =\dots\).
Ora, per ogni \(v \in N_q , v\neq 0\) esiste \(k \leq q\) tale che \(v \in N_k \text{ e } v\notin N_{k-1}\). Definiamo
i(v)=k e
\( \mathcal{L} (v) =\{v, Bv, \dots , B^{k-1} v\}\)

Il passo successivo è dimostrare che questo è un insieme di vettori linearmente indipendenti.
In seguito si vuole costruire una base di \(N_q\) "dotata di opportune proprietà rispetto a B".
Da qui in poi cito testualmente perché è da qui che inizio ad avere qualche difficoltà.
"Partiamo da una base qualsiasi in \(N_1\), i cui vettori costituiscono le colonne di una matrice che denoteremo \(C_1\). Ad essa aggiungiamo un insieme \(C_2\) di colonne indipendenti di \(N_2\) in modo che le colonne della matrice \(\left( C_1 \quad C_2\right) \) siano una base per \(N_2\). Definiamo in questo modo le matrci \(C_k\) in modo che le colonne della matrice
\(C= (C_q \dots C_1)\) siano una base per \(N_q\).
Consideriamo poi la matrice
\(D= (B^{q-1}C_q \quad \dots BC_2 \quad C_1)\)
Si osservi che tutte le colonne di C sono state ordinate in modo tale che se la colonna u precede la colonna v, allora si ha \(i(u) \geq i(v)\). Tutte le colonne di D appartengono a \(N_1\)
Eseguendo operazioni elementari sulle colonne di D, come quella di aggiungere a una colona un multiplo di una colonna precedente, riduciamo D a una matrice \(D*\) le cui colonne non nulle siano linearmente indipendenti (Perché???)
Sia \(\mathcal{A} (\text{risp} \mathcal{A}_1)\) l'insieme delle colonne di C (risp. D) che corrispondono alle colonne non nulle di \(D*\) (in che senso???)

Posto
\(\mathcal{F}(0) = \bigcup_{v\in \mathcal{A}} \mathcal{L}\),
si ha il seguente:
(\ \mathcal{F}(0)\) è una base per \(N_q\)
Dopo aver dimostrato ciò si afferma:
"Considerato \(v\in \mathcal{A}\), sia
\(M(v)= (B^{i(v)-1}\dots Bv \quad v )\)
Da quanto precede si ricava la seguente identità:
\(BM(v)= M(v)J_{i(v)}(0)\)
Tra tutto, quest'ultima cosa è quella che vorrei capire meglio.

[mario99]

qualcuno riesce a darmi una mano?

[Quinzio]

Hai provato a fare i calcoli iniziando con qualche esempio facile, ad esempio con

$\bb M(v) = \bb I$

e fare tutti i passaggi, vedere che tutto torna ?

[Quinzio]

qualcuno riesce a darmi una mano?

Hello ?
Hai visto quello che ti ho suggerito ?
E' chiaro ? (Non credo)