LucaGua81 ha scritto:Sono un neofita della geometria
Un po' tutti lo siamo.
Non riesco a capire intuitivamente il significato e l'utilità degli spazi affini. Mi è abbastanza chiara la definizione (ipersemplificando, si tratta di spazi vettoriali senza l'origine) , ma non capisco come da questa definizione possa seguire l'importanza di questi spazi. Mi potete aiutare?
Ci sono diversi modi di rispondere, questo è quello che mi sembra il più adatto.
- gli spazi vettoriali hanno un'origine, ovvero un punto più importante degli altri; al meglio delle conoscenze che abbiamo sul mondo fisico invece, lo spazio è omogeneo e isotropo ad un grande grado di approssimazione, ovvero esibisce le stesse proprietà a prescindere dalla regione di spazio considerata, e non possiede una origine privilegiata (questo è un principio di relatività che assume diversi nomi). Uno spazio affine è quindi semplicemente uno spazio vettoriale in cui hai dimenticato dove sta lo zero. Questo è solitamente il modo in cui la nozione viene introdotta ai fisici, perché tendono a capirlo meglio.
- Uno spazio affine $A$ risulta da uno spazio vettoriale $V$ alla maniera seguente: è un insieme $A$ tale che ad ogni coppia di punti \((a,b)\in A\times A\) corrisponda un unico vettore \([b-a]\in V\) (la "differenza di punti", testa meno coda, è solo un modo conveniente di scrivere un elemento), e in più vale che \([b-a]+[c-b]=[c-a]\) per ogni terna di punti \(a,b,c\in A\).
Con questo trucco notazionale possiamo modellare uno spazio che è "essenzialmente $V$", ma dove le figure (i sottoinsiemi, i sottospazi lineari e non) possono essere disposti più liberamente che in $V$ (perché sono liberi di passare per un generico punto, invece che essere, come sono i sottospazi di $V$, tutti attaccati allo zero). I sottospazi affini ora sono dati da sottospazi vettoriali \(W\le V\) "applicati" a un punto "da cui passano". Si è più liberi, per esempio di rappresentare il movimento di oggetti reali e si ha a disposizione un gruppo di automorfismi più grande per ogni oggetto di $A$, ma si paga un prezzo, dato che non ha più senso sommare due punti di $A$, ma solo
sottrarli uno all'altro per ottenere un vettore, e dato che ad esempio, la struttura del reticolo dei sottospazi
affini di $A$ è piu complicata della struttura del reticolo dei sottospazi dello spazio vettoriale sottostante $V$ (non vale la formula di Grassmann, come quasi certamente hai visto).
Tutto ciò è molto informale, e può esser reso preciso mediante un po' di teoria dei gruppi; e ci sono altre caratterizzazioni estremamente eleganti degli spazi affini, che spiegano il motivo profondo perché supportano una struttura naturale di spazi convessi (insiemi dove hanno senso le combinazioni lineari di punti, a patto che la somma \(\sum a_i\) dei combinatori scalari della scrittura \(\sum a_i P_i\) sia 1)).