Spazio affine

[LucaGua81]

Sono un neofita della geometria e vi tedio con una richiesta di chiarificazione. Non riesco a capire intuitivamente il significato e l'utilità degli spazi affini. Mi è abbastanza chiara la definizione (ipersemplificando, si tratta di spazi vettoriali senza l'origine) , ma non capisco come da questa definizione possa seguire l'importanza di questi spazi. Mi potete aiutare?

[LucaGua81]

Sono un neofita della geometria e vi tedio con una richiesta di chiarificazione. Non riesco a capire intuitivamente il significato e l'utilità degli spazi affini. Mi è abbastanza chiara la definizione (ipersemplificando, si tratta di spazi vettoriali senza l'origine) , ma non capisco come da questa definizione possa seguire l'importanza di questi spazi. Mi potete aiutare?

Cerco di spiegarmi meglio. Forse sono stato generico. Dalla definizione di spazio affine non capisco esattamente cosa uno spazio affine aggiunga a uno spazio vettoriale. Si tratta della possibilità di non considerare l'origine? O della possibilità di fare traslazioni? Scusatemi ma sono un autodidatta e potrei aver fatto confusione. Potete darmi una spiegazione come la dareste a un liceale?
Grazie davvero molto per l'aiuto!

[j18eos]

Buon dì,

è una domanda didatticamente molto interessante;

purtroppo non ho il tempo di risponderti, se puoi pazientare qualche giorno (massimo due)...

Spero comunque che qualche persona preparata possa risponderti!

[megas_archon]

Sono un neofita della geometria

Un po' tutti lo siamo.

Non riesco a capire intuitivamente il significato e l'utilità degli spazi affini. Mi è abbastanza chiara la definizione (ipersemplificando, si tratta di spazi vettoriali senza l'origine) , ma non capisco come da questa definizione possa seguire l'importanza di questi spazi. Mi potete aiutare?

Ci sono diversi modi di rispondere, questo è quello che mi sembra il più adatto.

- gli spazi vettoriali hanno un'origine, ovvero un punto più importante degli altri; al meglio delle conoscenze che abbiamo sul mondo fisico invece, lo spazio è omogeneo e isotropo ad un grande grado di approssimazione, ovvero esibisce le stesse proprietà a prescindere dalla regione di spazio considerata, e non possiede una origine privilegiata (questo è un principio di relatività che assume diversi nomi). Uno spazio affine è quindi semplicemente uno spazio vettoriale in cui hai dimenticato dove sta lo zero. Questo è solitamente il modo in cui la nozione viene introdotta ai fisici, perché tendono a capirlo meglio.

- Uno spazio affine $A$ risulta da uno spazio vettoriale $V$ alla maniera seguente: è un insieme $A$ tale che ad ogni coppia di punti \((a,b)\in A\times A\) corrisponda un unico vettore \([b-a]\in V\) (la "differenza di punti", testa meno coda, è solo un modo conveniente di scrivere un elemento), e in più vale che \([b-a]+[c-b]=[c-a]\) per ogni terna di punti \(a,b,c\in A\).
Con questo trucco notazionale possiamo modellare uno spazio che è "essenzialmente $V$", ma dove le figure (i sottoinsiemi, i sottospazi lineari e non) possono essere disposti più liberamente che in $V$ (perché sono liberi di passare per un generico punto, invece che essere, come sono i sottospazi di $V$, tutti attaccati allo zero). I sottospazi affini ora sono dati da sottospazi vettoriali \(W\le V\) "applicati" a un punto "da cui passano". Si è più liberi, per esempio di rappresentare il movimento di oggetti reali e si ha a disposizione un gruppo di automorfismi più grande per ogni oggetto di $A$, ma si paga un prezzo, dato che non ha più senso sommare due punti di $A$, ma solo sottrarli uno all'altro per ottenere un vettore, e dato che ad esempio, la struttura del reticolo dei sottospazi affini di $A$ è piu complicata della struttura del reticolo dei sottospazi dello spazio vettoriale sottostante $V$ (non vale la formula di Grassmann, come quasi certamente hai visto).

Tutto ciò è molto informale, e può esser reso preciso mediante un po' di teoria dei gruppi; e ci sono altre caratterizzazioni estremamente eleganti degli spazi affini, che spiegano il motivo profondo perché supportano una struttura naturale di spazi convessi (insiemi dove hanno senso le combinazioni lineari di punti, a patto che la somma \(\sum a_i\) dei combinatori scalari della scrittura \(\sum a_i P_i\) sia 1)).

[LucaGua81]

Ti ringrazio molto. La tua spiegazione mi ha fatto finalmente capire.
Ti faccio solo un paio di domande, sempre molto informali.
1) Come mai gli spazi affini devono sempre avere uno spazio vettoriale associato? Non è possibile una loro definizione senza spazio vettoriale?
2) Mi sono imbattuto in una definizione informale di spazio affine in cui si insiste sul fatto che mentre lo spazio vettoriale permette operazioni "interne" tra vettori (somma e prodotto vettore x scalare), lo spazio affine permette solo operazioni "esterne", cioè traslazioni. Può essere una definizione corretta?
Grazie davvero molto ancora

[megas_archon]

La definizione che ho dato, che semplifica un po' quella vera ("uno spazio affine è un insieme su cui il gruppo additivo di uno spazio vettoriale agisce in maniera completamente transitiva"), sottintende l'esistenza di uno spazio vettoriale $V$ in termini del quale $A$ è definito. Quindi no, lo spazio vettoriale serve. (sarebbe uno sterile esercizio di maieutica, ma potrei chiederti: come pensi che sia possibile definire uno spazio affine senza uno spazio vettoriale? L'onere della prova spetta a te che alimenti questa possibilità, significa che hai almeno una vaga idea di come si possa fare altrimenti.)

Per il resto: la traslazione è in effetti una operazione \(\oplus : A\times V\to A\), che nella sciocca terminologia di alcuni fisici che si sentono all'altezza dei matematici e quindi vogliono usare parole difficili, e nella vetusta terminologia degli algebristi di due secoli fa, si dice una "operazione esterna" (cosa che è un ossimoro, se la definizione di operazione è chiara a uno). La cosa importante è che \(\oplus\) soddisfa gli assiomi di una azione di gruppo, cioè 1. \(p\oplus 0=p\) per ogni \(p\in A\) e 2. \((p\oplus v)\oplus w = p \oplus (v+w)\).
Però non tutti gli insiemi dotati di una azione di \((V,+)\) sono spazi affini, serve che questa azione sia "completamente transitiva", ossia che, fissati due punti \(p,q\in A\), esista precisamente un vettore $v$ tale che \(p\oplus v= q\).