esercizio cambio di riferimento affine e dubbi semantici(?)

[paolo1712]

Salve ragazzi sto avendo un po' di difficoltà nella lettura di questo esercizio svolto dalla mia professoressa.
Sia il piano affine numerico $A_2(\RR)-=\RR^2$. Sia $R(O,B)$ riferimento affine standard con $O=(0,0), B={e_1,e_2} , e_1=(1,0) , e_2=(0,1)$
e sia $R'(O',B')$ riferimento affine con $O'=(1,2), B'={e'_1,e'_2} , e'_1=(1,-1) , e'_2=(1,0)$
Determinare le equazioni del cambiamento di riferimento da $R$ a $R'$.
Risoluzione
La eq del cambiamento di riferimento è $Y=AX+C$ dove $A=M_(B',B)$.
Sia $M=M_(B,B') = ( ( 1, 1 ),( -1 , 0 ) )$ matrice di passaggio da B a B'.
Già qui la cosa mi manda in tilt perché intuitivamente per me la matrice di passaggio da B a B' sarebbe la sua inversa che dovrebbe permettermi di cambiare le componenti di un vettore rispetto alla base B in componenti rispetto alla base B' ma ok (?)
$A=M_(B',B)=M^-1=( (0,-1),(1,1))$
$C$ è la coppia delle componenti del vettore $vec(O'O)$ nella base $B'$.
$vec(O'O)=(0,0)-(1,2)=(-1,-2)$
Il motivo di questa relazione dovrebbe essere dato dalla applicazione $f:VxV->V$ che $forall a,b \in V, f(a,b)=b-a$ dove V è un K-spazio vettoriale con $dim_(K)V=n>=1$. E fin qui ci sono.
Però poi dice, le componenti di $vec(O'O)$ nella base canonica $B$ sono $((-1),(-2))$ di conseguenza per trovare le sue componenti in $B'$ calcola $A*((-1),(-2))$.
Anche questo non mi è chiaro. Perché le componenti di $vec(O'O)$ sono riferite alla base canonica? Non ho determinato le cordinate affini nel riferimento $R'$ ?
Poi termina l'esercizio con la risoluzione del sistema associato.

Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto

[regim]

La eq del cambiamento di riferimento è $ Y=AX+C $ dove $ A=M_(B',B) $.
Sia $ M=M_(B,B') = ( ( 1, 1 ),( -1 , 0 ) ) $ matrice di passaggio da B a B'.
Già qui la cosa mi manda in tilt perché intuitivamente per me la matrice di passaggio da B a B' sarebbe la sua inversa che dovrebbe permettermi di cambiare le componenti di un vettore rispetto alla base B in componenti rispetto alla base B' ma ok (?)

Si tratta di esprimere le coordinate di un punto P dello spazio affine numerico nel nuovo riferimento affine $R(O'B')$. In sintesi, partendo dalla relazione di Chasles $$\overrightarrow {O'P}= \overrightarrow {O'O}+ \overrightarrow{OP}$$ il vettore $vec(OP)$ è rappresentato da $AX$ dove $X$ è il vettore colonna delle coordinate di un vettore nella vecchia base $B$ e $vec(O'O)$ è quello che tiene conto del cambiamento del punto origine dello spazio affine, e anch'esso deve essere rappresentato nelle nuove coordinate, per questo le vecchie coordinate devono essere moltiplicate per $A$.
La matrice di passaggio da te indicata sopra non è da $B$ a $B',$ quella è da $B'$ a $B$.
E più sotto: non hai determinato le coordinate affini in $R'$ ma in $R$ per questo, come ti ho scritto sopra, vanno poi moltiplicate per la matrice del cambiamento di base.

[paolo1712]

Ciao @regim, perdonami se ti rispondo con così tanto ritardo. Intanto ti ringrazio per la risposta.
Per quanto riguarda la matrice di passaggio anche io concordo con quello che dici tu sulla terminologia ma a quanto pare la mia professoressa la intende al contrario. Altrimenti non si spiega.
Non mi è chiaro perché $vec(O'O)$ è espresso in $R$.
Inoltre stavo cercando di dare un senso grafico a $vec(O'O)$ ma quello che ottengo non è il vettore stesso ma una sorta di vettore traslazione, giusto?

[regim]

Può anche intenderla al contrario a patto che poi la matrice indicata sia quella giusta. In questo caso è corretta la soluzione, e la matrice riportata $M_{BB'}$ pure è corretta e permette il calcolo delle vecchie coordinate a partire dalle nuove, ma a te serve l'inversa, perché dovresti poter calcolare le nuove coordinate a partire dalle vecchie, cioè ti serve proprio la matrice A, come giustamente riportata nella soluzione dell'esercizio.
$vec(O'O)$ è un vettore di $R^2$ e le sue coordinate sono espresse nella base B, se le vuoi in un altra base devi moltiplicarle per A.
Confondi lo spazio affine(che in questo è numerico) con quello vettoriale associato secondo me, anche se in questo caso sono uguali vanno comunque tenuti distinti.

[paolo1712]

Il sistema coordinato associato al riferimento $R(O,B)$ è $h:A_2(\RR)-=\RR^2 ->\RR^2$ e in modo analogo
il sistema coordinato associato al riferimento $R'(O',B')$ è $h':A_2(\RR)-=\RR^2 ->\RR^2$.
Per un generico punto $P\inA_2(\RR)-=\RR^2 $ avrò che $h(P)=(x_1,x_2)hArr vec(OP)=x_1e_1+x_2e_2$ e $h'(P)=(y_1,y_2)hArr vec(O'P)=y_1e'_1+y_2e'_2$.
Allora $h'(O)=(c_1,c_2)hArr vec(O'O)=c_1e'_1+c_2e'_2$ quindi le coordinate di $O'O$ sono in $B'$ ( $(c_1,c_2)$ sono le coordinate affini di $O$ in $R'$). Però perché quando vado a calcolarmi $vec(O'O)=(0,0)−(1,2)=(−1,−2)$ trovo i valori in $B$? Continua a non essermi chiaro.

[regim]

Se ti riguardi la definizione di spazio affine : "Dato uno K-spazio vettoriale V, lo spazio affine $X$ è un insieme tale che sia data una funzione che associa ad ogni coppia di punti di $X$ un vettore di $V$ cioè $f:X\times X \rarr V$ e tale che siano soddisfatte due proprietà ..... etc etc"
Volendo esprimere il vettore di cui sopra avrai bisogno di una base $B=(e_1,e_2)$ in questo caso, se no come fai?
Mi pare che tu lo abbia bene espresso questo punto, non capisco quale sia il tuo problema.
Quando fissi un riferimento affine ciò corrisponde ad associare ad ogni punto $P\in X$ le coordinate del vettore(in quale base?) associato da $f$ ai punti $O$ e $P$, cioè il vettore $f(O,P)=vec(OP)$.

[paolo1712]

Ah ok quindi quando associo a due punti di $X$ un vettore applicato di $V$ chiaramente lo faccio in riferimento alla base $B$ dopodiché devo procedere col "mutare" le sue componenti nella base $B'$.
Invece $h'(O)=(c_1,c_2)$ sono già riferite a $R'$ la cui base associata è $B'$.
Non so perché mi sto impelagando così tanto in questa cosa

[regim]

Ah ok quindi quando associo a due punti di $X$ un vettore applicato di $V$ chiaramente lo faccio in riferimento alla base $B$ dopodiché devo procedere col "mutare" le sue componenti nella base $B'$.

Precisamente.

Invece $h'(O)=(c_1,c_2)$ sono già riferite a $R'$ la cui base associata è $B'$.

Giusto. Però non ti seguo nel ragionamento. Comunque anch'io mi fermo qui.

[paolo1712]

Ti ringrazio ancora @regim!