Curve differenziabili su $S^2$

[andreadel1988]

E' vero che per ogni curva differenziabile $\gamma:(a,b)->S^2$ parametrizzata per lunghezza d'arco, si ha $||gamma''(t)||>=1$ per ogni $tin(a,b)$.

Presa una curva $gamma(t)$ in $S^2$ e presa $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ la parametrizzazione $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$ allora a meno di cambiare l'insieme $(0,pi)xx(0,2pi)$ possiamo suppore $Imgamma sube varphi((0,pi)xx(0,2pi))$, per cui $EEalpha(t):(a,b)->(0,pi)xx(0,2pi)$ curva differenziabile tale che $gamma(t)=varphi\circ alpha(t)=(sen(alpha_1(t))cos(alpha_2(t)),sen(alpha_1(t))sen(alpha_2(t)),cos(alpha_1(t)))$, affinchè $gamma$ sia parametrizzata per lunghezza d'arco si deve avere $(alpha_1'(t))^2+(alpha_2'(t))^2sen^2(alpha_1(t))=1$
però poi non so come andare avanti ...

[Quinzio]

Non capisco se e' una domanda o se la tesi e' gia' presa per buona.
A me sembra che non sia vera...
Prendendo la curva piu' semplice che ci sia, ad es: $y = (t, 0)$, e' banale mostrare che $||y^{''}(t)|| = 0$.

Forse c'e' qualcosa che mi sfugge, non saprei.

[andreadel1988]

Non capisco se e' una domanda o se la tesi e' gia' presa per buona.
A me sembra che non sia vera...
Prendendo la curva piu' semplice che ci sia, ad es: $t = (t, 0)$, e' banale mostrare che $||y^{''}(t)|| = 0$.

Forse c'e' qualcosa che mi sfugge, non saprei.

Ma deve essere una curva su $S^2$ tale che norma della derivata prima sia uguale a $1$ (comunque è una domanda)

[Quinzio]

Nel messaggio precedente ho scritto male, volevo scrivere $y = (t, 0)$.

E comunque, si, la derivata prima deve essere 1, e mi sembra che per $y = (t, 0)$ si ha che $||y^{'}(t)|| = 1$.

Quindi direi che la risposta e': no, non e' vero che...

[andreadel1988]

Nel messaggio precedente ho scritto male, volevo scrivere $y = (t, 0)$.

E comunque, si, la derivata prima deve essere 1, e mi sembra che per $y = (t, 0)$ si ha che $||y^{'}(t)|| = 1$.

Quindi direi che la risposta e': no, non e' vero che...

Scusami ma $y$ non sta in $S^2$ quindi non ho capito cosa intendi

[andreadel1988]

Mi è venuto in mente di fare così:
indichiamo con $II_{p}$ la seconda forma fondamentale nel punto $p$ e con $N_p$ la mappa di Gauss nel punto $p$.
Allora abbiamo che $dN_p=Id$ per ogni $p inS^2$ poichè la superfice che consideriamo è $S^2$, quindi $AAtin(a,b)$ si ha che $-1=-||gamma'(t)||^2= - <gamma'(t),gamma'(t)> = - <dN_{gamma(t)}[gamma'(t)],gamma'[t]> = II_{gamma(t)}[gamma'(t)]= <N(gamma(t)),gamma''(t)>$
per cui $1=|<N(gamma(t)),gamma''(t)>|<= ||N(gamma(t))||*||gamma''(t)||= ||gamma''(t)||$ dove ho usato la disugualianza di Chauchy-Schwarz e $||N(gamma(t))||=1$
Potrebbe andare?