Curvature normali di curve differenziabili su una superfice di curvatura gaussiana nulla

[andreadel1988]

Sia $S$ una superficie e $p inS$ un punto di curvatura gaussiana nulla. Possono esistere due curve $gamma_1, gamma_2 : (a,b)->S$ con $gamma_i(0)=p$ e parametrizzate per lunghezza d’arco aventi curvature normali di segno opposto al tempo $t=0$?
Pensavo al toro, basta prendere una curva che si trova nella parte in cui il toro ha curvatura positiva e l'altra curva che si trova nella parte in cui il toro ha curva negativa (ed entrambe si toccano nel punto di curvatura nulla), si ottiene che $dN_p$ (dove $N_p$ è la mappa di Gauss) è definita positiva nella prima parte e definita negativa nella seconda per cui la curvatura normale al tempo $t=0$ della prima e seconda curva rispettivamente è $<dN_p[gamma_1'(0)],gamma_1(0)> >0$ e $<dN_p[gamma_2'(0)],gamma_2(0)> <0$

[Quinzio]

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[andreadel1988]

Scusami però pensandoci meglio noi abbiamo che per la formula di Eulero la curvatura normale di una curva $gamma$ al tempo $t=0$ è uguale a $k_1cos^2(theta)+k_2sen^2(theta)$ dove $theta$ è l'angolo che $gamma'(0)$ forma con $w_1$ uno dei due vettori che generano il piano tangente alla superfice in $p$ (l'altro è $w_2$) e $k_1,k_2$ sono le due curvatura principali. Ricordando che $k_1*k_2$ è uguale alla curvature gaussiana allora o $k_1=k_2=0$ oppure uno fra $k_1$ e $k_2$ è $0$. Nel primo caso si ottiene che la curvatura normale è nulla, nel secondo caso si ottiene che la curvatura normale o è sempre positiva o è sempre negativa per cui non possono essere di segno opposto...

[Quinzio]

Si, hai perfettamente ragione. Ho cancellato il mio post.