Sia $f :S^2->RR$ la funzione data da $f(x,y,z)=z^2$, calcolare il differenziale di $f$ in ogni punto.
Consideriamo la parametriazzazione $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ con $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, allora $(del\varphi)/(deltheta)$ e $(del\varphi)/(delxi)$ è una base del piano tangente, per cui basta determinare i valori del differenziale su di essi.
Sia $p=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, $gamma_1(t)=(sen(theta+t)cos(xi),sen(theta+t)sen(xi),cos(theta+t))$ tale che $gamma_1(0)=p$ e $gamma'_1(0)=(del\varphi)/(deltheta)$, $gamma_2(t)=(sen(theta)cos(xi+t),sen(theta)sen(xi+t),cos(theta))$ tale che $gamma_2(0)=p$ e $gamma'_2(0)=(del\varphi)/(delxi)$, si ha che
$df_p[(del\varphi)/(deltheta)]=(f\circgamma_1)'(0)=d/dt(cos^2(theta+t))'(0)=-2cos(theta)sin(theta)$
$df_p[(del\varphi)/(delxi)]=(f\circgamma_2)'(0)=d/dt(cos^2(theta))'(0)=0$
Può andar bene?