Differenziale di una funzione su una superfice

[andreadel1988]

Sia $f :S^2->RR$ la funzione data da $f(x,y,z)=z^2$, calcolare il differenziale di $f$ in ogni punto.
Consideriamo la parametriazzazione $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ con $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, allora $(del\varphi)/(deltheta)$ e $(del\varphi)/(delxi)$ è una base del piano tangente, per cui basta determinare i valori del differenziale su di essi.
Sia $p=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$, $gamma_1(t)=(sen(theta+t)cos(xi),sen(theta+t)sen(xi),cos(theta+t))$ tale che $gamma_1(0)=p$ e $gamma'_1(0)=(del\varphi)/(deltheta)$, $gamma_2(t)=(sen(theta)cos(xi+t),sen(theta)sen(xi+t),cos(theta))$ tale che $gamma_2(0)=p$ e $gamma'_2(0)=(del\varphi)/(delxi)$, si ha che

$df_p[(del\varphi)/(deltheta)]=(f\circgamma_1)'(0)=d/dt(cos^2(theta+t))'(0)=-2cos(theta)sin(theta)$

$df_p[(del\varphi)/(delxi)]=(f\circgamma_2)'(0)=d/dt(cos^2(theta))'(0)=0$

Può andar bene?

[Cannelloni]

Non conosco il tuo metodo, ma usando il mio mi torna lo stesso risultato. Ecco i miei passaggi:

Per calcolare il differenziale di una mappa liscia su una varietà $M$ immersa in $RR^k$ basta estendere tale funzione ad uno aperto di $RR^k$ che contiene $M$, calcolare il differenziale di questa estensione e poi restringere al tangente in ogni punto. In realtà questo discorso si può fare localmente: in ogni punto $p$ estendere localmente la mappa ad un aperto di $RR^k$ che contiene $p$, calcolare il differenziale in quel punto e poi restringere al tangente $T_p M$.

In questo caso estendiamo $f$ globalmente con $F:RR^3\rightarrow RR$ definita da $F(x,y,z)=z^2$. In ogni punto il differenziale vale $(0,0,2z)$.

Per calcolare il tangente in ogni punto serve una parametrizzazione, prendiamo quella che hai trovato tu: $\varphi(\theta,\xi)=(\sin(\theta)\cos(\xi),\sin(\theta)\sin(\xi),\cos(\theta))$, calcoliamo in differenziale $d\varphi_u$ e avremo che $T_pM=Im(d\varphi_u)$ dove $u=(theta,xi)$ e $\varphi(u)=p$.

\[
d\varphi_{(\theta,\xi)}=
\begin{pmatrix}
\cos(\theta)\cos(\xi) & -\sin(\theta)\sin(\xi)\\
\cos(\theta)\sin(\xi) & \sin(\theta)\cos(\xi)\\
-\sin(\theta) & 0
\end{pmatrix}
\]

Unendo tutto quello che abbiamo detto
\[
df_p={dF_p}|_{T_pM}=dF_p\circ d\varphi_{(\theta,\xi)} =(0,0,2\cos(\theta))\cdot \begin{pmatrix}
\cos(\theta)\cos(\xi) & -\sin(\theta)\sin(\xi)\\
\cos(\theta)\sin(\xi) & \sin(\theta)\cos(\xi)\\
-\sin(\theta) & 0
\end{pmatrix}=(-2\cos(\theta)\sin(\theta), 0)=(-\sin(2\theta), 0)
\]

[Brufus]

Io francamente non ho compreso minimamente quello che avete scritto. Se stiamo parlando di geometria differenziale evidentemente dovremmo esprimerci in un linguaggio più tecnico. Date due varietà differenziabili $X$ e $Y$ e considerata una mappa liscia $F:X\rightarrow Y$ potremmo considerare il differenziale puntuale $d_x F : T_x X \rightarrow T_{F(x)} Y$ cioè un operatore lineare che opera tra gli spazi vettoriali $T_x X$ e $T_y Y$ dovev$T_x X$ denota lo spazio tangente nel punto $x$ e non il piano tangente ( che suppongo venga inteso come sottospazio affine dello spazio euclideo tridimensionale ). Fissate due carte $(U, \phi) $ in $X$ e $(V,\psi)$ in $Y$ allora quello che vogliamo calcolare è il differenziale puntuale $d_{\phi (x)} (\psi \circ F \circ \phi^{-1}): T_{\phi (x)}\mathbb R^n \rightarrow T_{\psi (F(x))}\mathbb R^m $ avendo supposto $m$ la dimensione di $Y$ e $n$ quella di $X$. Ora si può mostrare che fissata la base di $T_x \mathbb R^n$ come $\mathcal B= ( \frac{\partial}{\partial x_1}|_x$,$\ frac{\partial}{\partial x_2}|_x $.....,$\ frac{\partial}{\partial x_n}|_x )$ la matrice che rappresenta il differenziale puntuale coincide con la solita jacobiana. Siccome mi sembra di capire che è proprio questo quello che vogliamo fare (cioè trovare una rappresentazione locale attraverso le carte del differenziale puntuale) allora basterà sostituire i vari ingredienti e svolgere i calcoletti. Nel nostro caso $X= S^2$ e $Y=\mathbb R$. Prendiamo una carta $(U, \phi)$ per $S^2$ che in questo caso mi pare sia espressa attraverso la parametrizzazione locale $( \phi(U), \phi^{-1})=((0,\pi)\times(0,2\pi),\phi^{-1}(\theta,\xi))$ e una carta per $\mathbb R$ data da $(\mathbb R, mathcal {id})$ e chiamiamo la mappa liscia $F$ con $f$ denotata nell'esercizio. Allora posto $\Theta= (\psi \circ F \circ \phi^{-1}): \mathbb R^2\rightarrow \mathbb R$ nel nostro caso $\Theta(\theta,\xi)= (\cos\theta)^2$ e la matrice jacobiana banalmente diventa il gradiente. Pertanto $d_{\phi (x)} (\psi \circ F \circ \phi^{-1}): T_{\phi (x)}\mathbb R^2 \rightarrow T_{\psi (F(x))}\mathbb R =( \ frac{\partial \Theta}{\partial \theta}(\theta,\xi),\ frac{\partial \Theta}{\partial \xi}(\theta,\xi))=(-2\sin\theta\cos\theta,0)$

[dissonance]

Io francamente non ho compreso minimamente quello che avete scritto.

Comunque il risultato finale è lo stesso. Quindi vanno sicuramente bene tutti e tre i metodi. Secondo me non dovrebbe essere necessario dilungarsi tanto in richiami teorici