da APZ » 02/01/2024, 21:37
L'equazione di una circonferenza di raggio $r$ e centro $C=(x_c,y_c)$ è
$$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$$
dove $\alpha=-2x_c$, $\beta=-2y_c$ e $\gamma=x_c^2+y_c^2-r^2$, quindi il la circonferenza di equazione
$$x^2+y^2-4x+6y=0$$
ha centro $C=(2,-3)$ e raggio $\sqrt{13}$
Per trovare il punto $P$ di massima distanza dall'origine c'è un trucchetto banale, ma giusto per illustrarlo mostro prima un metodo più generale, poi svelo comunque la scorciatoia.
Basta osservare che $P$ è sicuramente punto di tangenza con una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $R$ opportuno. Basta quindi mettere a sistema
$$\begin{cases}
x^2+y^2-4x+6y=0\\
x^2+y^2=R^2
\end{cases}$$
e imporre che la soluzione sia unica (in generale due circonferenze possono avere $0$, $1$ o $2$ punti di contatto).
Inserendo la seconda equazione nella prima esce subito $y=\frac{2}{3}x-\frac{R^2}{6}$ che inserita nella seconda dà $x^2+(\frac{2}{3}x-\frac{R^2}{6})^2=R^2$ cioè $52x^2-8R^2x+R^4-36R^2=0$.
Questa è un'equazione di secondo grado in $x$, e per imporre che la soluzione sia unica basta imporre che il discriminante sia nullo.
$$0=\frac{\Delta}{4}=-36R^4+1872R^2\Rightarrow R=0\lor R=2\sqrt{13}$$
E' normale, in generale, che si trovino due valori di $R$, uno che ci dice dove si trova il punto più vicino all'origine, l'altro quello più lontano.
Il trucchetto che avrebbe permesso di arrivare subito a $R=2\sqrt{13}$ senza conti è semplicemente osservare che la circonferenza di equazione $x^2+y^2-4x+6y=0$ passa per l'origine, quindi il suo punto di massima distanza si trova ad una distanza pari al suo diametro.
Infine la retta $t$ tangente alla circonferenza data in $P$ è anche tangente alla circonferenza centrata nell'origine, quindi, oltre a passare per $P$, sarà perpendicolare al raggio $OP$.
La pendenza di $OP$ è la stessa del segmento che congiunge l'origine con il centro $C=(2,-3)$, quindi $m_{OP}=-\frac{3}{2}$.
Ne consegue che la pendenza della retta $t$ è $m=-1/m_{OP}=2/3$. L'equazione della retta $t$ è dunque $t:y=\frac{2}{3}x+q$, e $q$ lo determiniamo imponendo che il sistema
$$\begin{cases} x^2+y^2=(2\sqrt{13})^2\\ y=\frac{2}{3}x+q\end{cases}$$
abbia una sola soluzione.
Inserendo la seconda equazione nella prima esce $x^2+(\frac{2}{3}x+q)^2=52$ cioè $13x^2+12qx+9q^2-468=0$. Imponendo l'annullamento del discriminante arriviamo a $0=\frac{\Delta}{4}=6084-81q^2$ che ci porta a $q=-26/3$.
La retta $t$ richiesta ha quindi equazione
$$t:y=\frac{2}{3}x-\frac{26}{3}$$