Esercizio di algebra lineare e geometria

[DezMarKo]

Salve sono nuovo in questo forum, volevo chiedere una mano avendo qualche difficolta nel seguente esercizio
Data la conica C: x^2+y^2-4x+6y=0 scrivere l'equazione della tangente a C nel suo punto di massima distanza dall'origine. ho trovato la circ = (-1,-2) e il raggio che è uguale a radice di 5, tramite la formula x-0/2=-1 e
y-0/2=-2 ho trovato p (-2,-4), sinceramente non so come continuare per trovare l'eq, il mio professore ha scritto solo i risultati senza passaggi trovando 0C -x=-4/2 2x-y=0 cosi facendo tramite sistema lineare ha trovato P, quindi mi viene il dubbio che il metodo che ho usato non sia funzionale sempre (correggetemi se sbaglio), poi per trovare eq ha usato una matrice composta da (1,0,0)(0,1,2)(1,2,0) che non capisco da dove è stata tirata fuori, vi chiedo se sapete aiutarmi coi successivi passaggi e capire come ha fatto a trovare la matrice e oc, grazie mille

[APZ]

L'equazione di una circonferenza di raggio $r$ e centro $C=(x_c,y_c)$ è
$$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$$
dove $\alpha=-2x_c$, $\beta=-2y_c$ e $\gamma=x_c^2+y_c^2-r^2$, quindi il la circonferenza di equazione
$$x^2+y^2-4x+6y=0$$
ha centro $C=(2,-3)$ e raggio $\sqrt{13}$


Per trovare il punto $P$ di massima distanza dall'origine c'è un trucchetto banale, ma giusto per illustrarlo mostro prima un metodo più generale, poi svelo comunque la scorciatoia.
Basta osservare che $P$ è sicuramente punto di tangenza con una circonferenza centrata nell'origine e di raggio $R$ opportuno. Basta quindi mettere a sistema
$$\begin{cases}
x^2+y^2-4x+6y=0\\
x^2+y^2=R^2
\end{cases}$$
e imporre che la soluzione sia unica (in generale due circonferenze possono avere $0$, $1$ o $2$ punti di contatto).
Inserendo la seconda equazione nella prima esce subito $y=\frac{2}{3}x-\frac{R^2}{6}$ che inserita nella seconda dà $x^2+(\frac{2}{3}x-\frac{R^2}{6})^2=R^2$ cioè $52x^2-8R^2x+R^4-36R^2=0$.
Questa è un'equazione di secondo grado in $x$, e per imporre che la soluzione sia unica basta imporre che il discriminante sia nullo.
$$0=\frac{\Delta}{4}=-36R^4+1872R^2\Rightarrow R=0\lor R=2\sqrt{13}$$
E' normale, in generale, che si trovino due valori di $R$, uno che ci dice dove si trova il punto più vicino all'origine, l'altro quello più lontano.
Il trucchetto che avrebbe permesso di arrivare subito a $R=2\sqrt{13}$ senza conti è semplicemente osservare che la circonferenza di equazione $x^2+y^2-4x+6y=0$ passa per l'origine, quindi il suo punto di massima distanza si trova ad una distanza pari al suo diametro.

Infine la retta $t$ tangente alla circonferenza data in $P$ è anche tangente alla circonferenza centrata nell'origine, quindi, oltre a passare per $P$, sarà perpendicolare al raggio $OP$.
La pendenza di $OP$ è la stessa del segmento che congiunge l'origine con il centro $C=(2,-3)$, quindi $m_{OP}=-\frac{3}{2}$.
Ne consegue che la pendenza della retta $t$ è $m=-1/m_{OP}=2/3$. L'equazione della retta $t$ è dunque $t:y=\frac{2}{3}x+q$, e $q$ lo determiniamo imponendo che il sistema
$$\begin{cases} x^2+y^2=(2\sqrt{13})^2\\ y=\frac{2}{3}x+q\end{cases}$$
abbia una sola soluzione.
Inserendo la seconda equazione nella prima esce $x^2+(\frac{2}{3}x+q)^2=52$ cioè $13x^2+12qx+9q^2-468=0$. Imponendo l'annullamento del discriminante arriviamo a $0=\frac{\Delta}{4}=6084-81q^2$ che ci porta a $q=-26/3$.
La retta $t$ richiesta ha quindi equazione
$$t:y=\frac{2}{3}x-\frac{26}{3}$$