vettori liberi, spazi e sottospazi affini

[paolo1712]

Ma così l'unico modo che avrei per scegliere $O$ non sarebbe su una retta passante per l'origine? Se $vec(OP)$ deve appartenere ad uno spazio vettoriale

[j18eos]

Ma con \(\displaystyle O\) non indico il punto \(\displaystyle(0,0)\in\mathbb{R}^2\), ìndico un punto qualsiasi...

[paolo1712]

Si anche io; volevo dire che in $\RR^2$ tutti i sottospazi vettoriali sono rette passanti per l'origine. Quindi sceglierei la retta che passa per l'origine e per O e tutti i punti P tale che $vec(OP)$ giace sulla retta scelta. So che è sbagliato. Però continuo a non capire.
Che intendi per distinguere le strutture di spazio vettoriale e affine su $\RR^2$?

[j18eos]

Intendo affermare che non per forza devi pensare al punto \(\displaystyle(0,0)\in\mathbb{R}^2\), ed alle rette passanti per esso!

Esempio: chi è la retta \(r\) passante per il punto \(\displaystyle O=(-1,2)\in\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}\) tale che \(P\in r\) se e solo se \(\overrightarrow{OP}\in\left\langle(-2,1)\right\rangle\)?

[paolo1712]

$r:y=x+3$ ?
Non so come porre la domanda.
$W=<(-2,1)>$ è la retta $y=-1/2x$; come fa $vec(OP)$ ad appartenere a $W$ se $O$ non appartiene a $W$ ?
Tutti gli altri punti P della retta come possono essere tali per cui $vec(OP)$ è ancora in $<(-2,1)>$ ?

[regim]

Non so come porre la domanda.
$W=<(-2,1)>$ è la retta $y=-1/2x$; come fa $vec(OP)$ ad appartenere a $W$ se $O$ non appartiene a $W$ ?

$O$ non può appartenere a $W$ perché $O$ appartiene alla spazio affine non a quello vettoriale associato.
Devi tenere presente di avere due spazi distinti.

Tutti gli altri punti P della retta come possono essere tali per cui $vec(OP)$ è ancora in $<(-2,1)>$ ?

Perchè $f(O,P)= vec(OP)$, dove $vec(O,P)$ è un vettore dello spazio vettoriale associato, in questo caso la relazione sarebbe $vec(OP)= t(-,2,1)$ e si parla di retta affine perché $W$ ha dimensione 1. $(-2,1)$ è anche detto vettore direzione, e $W$ giacitura del sottospazio affine.
Buona giornata

[paolo1712]

Ok credo di aver capito. L'applicazione $f$ è tale per cui scelti due punti $O,P\in RR^2$, mi associa $f(O,P)=P-O$. Ora essendo $O$ fisso, devo trovare delle coordinate di $P$ tali che $f(O,P)=P-O$ mi dia un valore esprimibile come combinazione lineare di $<(-2,1)>$. Giusto?
Quindi la retta che ho scritto è sbagliata? dovrei trovare qualcosa del tipo $t*(-2,1)=(a+1,b-2)$ considerando $P=(a,b)$ ovvero, conti alla mano, una coppia di valori tali che $2b+a=3$? Quindi la retta $r:y=-x/2+3/2$ ?
Alla luce di quanto detto, tornando alla domanda di apertura, cos'è uno spazio vettoriale generato da un vettore libero?

[j18eos]

Bene, l'equazione della retta l'hai calcolata correttamente!

L'ultima domanda è mal posta: ti è chiaro cos'è lo spazio vettoriale dei vettori liberi associato all'insieme \(\mathbb{R}^2\)?

[paolo1712]

Non credo. E' lo spazio vettoriale costruito sull'insieme dei vettori liberi. Essendo un vettore libero una classe di equivalenza, ovvero un insieme di vettori equipollenti a un dato vettore, intuitivamente direi che è uno spazio costruito su un insieme di insiemi (?)

[j18eos]

Sì, ma non hai bisogno di ricordati che lo spazio dei vettori liberi è "un insieme di insiemi di vettori"...

Cioè, una volta identificati i vettori applicati a meno dell'equipollenza, non ti devi ricordare tutto questo marchingegno!