Altezza triangolo equilatero

[APZ]

Qualcuno è in grado di trovare l'altezza di questo triangolo equilatero?
Ci ho provato in tutti i modi, riesco a impostare sistemi di equazioni indipendenti, tante equazioni quante incognite, ma il calcolo è proibitivo (formulone enormi).
La soluzione, trovata con metodi numerici, la conosco: è 441.
Immagino ci sia qualche trucchetto per trovarla senza dover affrontare calcoli disumani, qualche proprietà che mi sfugge.
Help please?

[sellacollesella]

Il sistema più sintetico che sono riuscito a scrivere è il seguente:

Codice:

{a, b, c} = 2 {54, 84, 65};
polys = {a^2 (t + u + w) - (-t + u + w) (t - u + w) (t + u - w),
         b^2 (u + v + w) - (-u + v + w) (u - v + w) (u + v - w),
         c^2 (v + t + w) - (-v + t + w) (v - t + w) (v + t - w),
         a (t + u + w) + b (u + v + w) + c (v + t + w) - Sqrt[3] w^2};
NSolve[{polys == {0, 0, 0, 0}, 0 < t < w, 0 < u < w, 0 < v < w}]

che essendo polinomiale è possibile determinarne tutte le soluzioni numeriche, da cui l'unica accettabile:

Codice:

{{t -> 252.879, u -> 304.841, v -> 329.09, w -> 509.223}}

ossia, come già accennato, l'altezza di quel triangolo equilatero risulta circa pari a \(441\).

In particolare, se ci riduciamo ad una sola equazione polinomiale nell'incognita \(w\), ossia:

Codice:

gb = GroebnerBasis[polys, {t, u, v, w}];
Solve[gb[[1]] == 0]

si ottiene:

Codice:

{{w->0},{w->0},{w->-(130/Sqrt[3])},{w->-56 Sqrt[3]},{w->-36 Sqrt[3]},{w->294 Sqrt[3]},{w->-35.2...},{w->86.8...},{w->97.6...},{w->107....},{w->332....},{w->364....},{w->414....},{w->-138....},{w->-112....},{w->-95.1...},{w->68.3...},{w->77.8...},{w->87.1...},{w->434....},{w->443....},{w->456....},{w->470....},{w->500....},{w->505....},{w->635....},{w->638....},{w->640....},{w->-36.9...-93.8... I},{w->-36.9...+93.8... I},{w->-23.8...-90.9... I},{w->-23.8...+90.9... I},{w->-16.8...-86.8... I},{w->-16.8...+86.8... I}}

da cui è facile notare che \(w=294\sqrt{3}\), ossia \(h=441\), sono soluzioni esatte del sistema di cui sopra, il che porterebbe a pensare che sia possibile arrivarci per qualche strada trasversa con qualche conto più umano.

D'altro canto, se il primo raggio lo cambiamo da \(54\) a \(55\) Mathematica non riesce più a trovare una soluzione esatta che fa al caso nostro, bensì solo numerica, il che mi porta a pensare che il precedente sia solo un caso fortunato e che quindi, in generale, non risulti possibile determinare una formulina chiusa dipendente dai tre raggi. Naturalmente le mie sono solo supposizioni, sto in attesa con te per una risoluzione più semplice.

[APZ]

Sì, numericamente ci riuscivo (per altra strada dato che ho usato C++, senza avere funzioni pronte ho dovuto fare gli algoritmi a mano).
Sto ancora cercando, senza successo per ora, di risolverlo "con carta e penna".
Se può essere d'aiuto si possono utilizzare liberamente alcuni risultati che saprei dimostrare e che penso possano servire:
- $\overline{AE}+\overline{BF}+\overline{CD}=\overline{EB}+\overline{FC}+\overline{DA}=3/2 L$
- $\overline{AE}^2+\overline{BF}^2+\overline{CD}^2=\overline{EB}^2+\overline{FC}^2+\overline{DA}^2$
- i prolungamenti di $EO_2$, $FO$ e $DO_1$ si incontrano in un punto comune (diverso da $P$)
- la somma delle altezze dei triangoli in cui è suddiviso il triangolo equilatero è uguale all'altezza del triangolo equilatero stesso (chiaramente parlo delle altezze che insistono sui lati del triangolo equilatero).