Curvatura Gaussiana di un elissoide

[andreadel1988]

Sia $c>1$ e sia $SsubeRR^3$ l'elissoide dato da $S={(x,y,z)inRR^3|x^2+y^2+(z^2/c^2)=1}$, trovare i punti di minima e massima curvatura gaussiana e calcolare i valori minimo e massimo della curvatura gaussiana.

Consideriamo $\varphi:(0,pi)xx(0,2pi)->S^2$ la parametrizzazione $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),c*cos(theta))$, allora otteniamo che la curvatura Gaussiana è $K(\varphi(theta,xi))=c^2/(cos^2(theta)+c^2sin^2(theta))$ e quindi il punto di massimo si quando $theta=pi/2$ con curvatura gaussiana uguale a $1$, mentre i punti di minimo si dovrebbero avere quando $theta=0,pi$ e in essi la curvatura gaussiana è uguale $c^2$ (anche se $0,pi$ non stanno nel dominio della parametrizzazione...)

[Quinzio]

Mi sembra che i 2 punti di curvatura massima siano in $\theta = 0$ e $\theta = \pi$, dove la curvatura e' $c^2$, mentre la curvatura minima e' su tutta la circonferenza $\theta = pi/2$, dove la curvatura e' $1/c^2$.
Usando l'hessiana e' abbastanza immediato avere il risultato.

[andreadel1988]

Beh in effetti hai ragione $c>1$ ahhahahaha, però i calcoli mi sembra di averli fatti giusti con la parametrizzazione che ho usato (ho calcolato la prima e seconda formula fondamentale rispetto a questa parametrizzazione), se hai voglia e riesci anche tu a fare i calcoli per dirmi se effettivamente ho sbagliato qualche calcolo, grazie.

[Quinzio]

Nella tua formula c'e' una punto $\theta = pi / 2$, dove la curvatura non dipende da $c$.
Non puo' essere, questa cosa.

Non so come hai fatto a passare dalla parametrizzazione alla curvatura, ma se hai fatto semplicemente le derivate seconde, non funziona con le coordinate polari.

[Quinzio]

Guarda anche qui per avere una conferma:
https://www.johndcook.com/blog/2019/10/ ... ellipsoid/

The maximum curvature is (a/bc)² and the minimum curvature is (c/ab)²

Nel nostro caso, a=1, b=1, c=c.
Quindi la massima curvatura e' $c^2$ e la minima e' $1/c^2$.

[andreadel1988]

Nella tua formula c'e' una punto $\theta = pi / 2$, dove la curvatura non dipende da $c$.
Non puo' essere, questa cosa.

Non so come hai fatto a passare dalla parametrizzazione alla curvatura, ma se hai fatto semplicemente le derivate seconde, non funziona con le coordinate polari.

Ho calcolato la prima forma fondamentale che sarebbe $E=cos^2(theta)+c^2sen^2(theta),F=0,G=sin^2(theta)$, la mappa di Gauss $N(varphi(theta,xi))=((csin(theta)cos(xi))/sqrt(c^2sin^2(theta)+cos^2(theta)),(csin(theta)sen(xi))/sqrt(c^2sin^2(theta)+cos^2(theta)),cos(theta)/sqrt(c^2sin^2(theta)+cos^2(theta)))$ e la seconda forma fondamentale che sarebbe $e=-c/sqrt(c^2sin^2(theta)+cos^2(theta)),f=0,g=-(csin^2(theta))/sqrt(c^2sin^2(theta)+cos^2(theta))$ (ricordando che $E=<(delvarphi)/(deltheta),(delvarphi)/(deltheta)>,F=<(delvarphi)/(deltheta),(delvarphi)/(delxi)>,G=<(delvarphi)/(delxi),(delvarphi)/(delxi)>$, $N=((delvarphi)/(deltheta) \wedge (delvarphi)/(delxi))/(||(delvarphi)/(deltheta) \wedge (delvarphi)/(delxi)||)$ e $e=<N,(del^2varphi)/(deltheta^2)>,f=<N,(del^2varphi)/(delthetadelxi)>,g=<N,(del^2varphi)/(delxi^2)>$) e ho usato la formula per la curvatura Gaussiana $K=(eg-f^2)/(EG-F^2)$

che poi pensandoci se $z=0$ (ovvero in $theta=pi/2$) effettivamente stiamo sulla circonferenza $x^2+y^2=1$ che ha curvatura gaussiana $1$ non dipende da $c$...

[Quinzio]

Certo, hai ragione tu.