Esercizio su applicazione lineare

[ciaomammalolmao]

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione 3 su campo K e sia ${v_1,v_2,v_3}$ una base di V. Sia $f:V->V$ l’unica applicazione lineare tale che:
$f(v_1)=v_2;
f(v_2)=v_3;
f(v_3)=v_1+v_2$.
Esistono basi A,P tali che la matrice associata ad $f$ è la matrice identità?
Io ho provato ad utilizzare la formula del cambio di base, ipotizzando l’esistenza di una base $A={a_1,a_2,a_3}$ e una base $P={p_1,p_2,p_3}$ che soddisfino le condizioni richieste scrivendo le matrici associate per utilizzare la formula del cambio di base, è la strada sbagliata? Grazie in anticipo

[Quinzio]

Devi vedere se la matrice associata ad $f$ si puo' diagonalizzare, no ?

[ciaomammalolmao]

A lezione non abbiamo ancora affrontato la diagonalizzazione, non ci sono altri modi?

[Noodles]

Se, come base di partenza, si prende:

${v_1,v_2,v_3}$

basta prendere, come base di arrivo:

${v_2,v_3,v_1+v_2}$

In questo modo:

$f(v_1)=v_2$

$[[1],[0],[0]] rarr [[1],[0],[0]]$

$f(v_2)=v_3$

$[[0],[1],[0]] rarr [[0],[1],[0]]$

$f(v_3)=v_1+v_2$

$[[0],[0],[1]] rarr [[0],[0],[1]]$

Volendo procedere con la matrice di cambiamento di base:

$[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]]^(-1)*[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]]=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]$

Insomma, più in generale, basta e avanza che l'endomorfismo sia un isomorfismo.

[ciaomammalolmao]

Perdonami per la domanda probabilmente stupida, ma come faccio a sapere che ${v_2,v_3,v_1+v_2}$ è una base? Grazie

[Noodles]

Perchè, se:

${v_1,v_2,v_3}$

sono linearmente indipendenti, anche:

${v_2,v_3,v_1+v_2}$

sono linearmente indipendenti:

$det[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]] ne 0$

[ciaomammalolmao]

Ok mi torna grazie, quindi se la domanda è esistono delle basi tali che la matrice associata alla funzione è la matrice identità la risposta è sì, e mi basta scegliere come base ordinata le immagini della funzione assunte sulla base di partenza? Non ho capito a questo punto a cosa serve la matrice del cambio base. Grazie mille

[Noodles]

... esistono delle basi tali che la matrice associata alla funzione è la matrice identità la risposta è sì, e mi basta scegliere come base ordinata le immagini della funzione assunte sulla base di partenza ...

Se si tratta di un isomorfismo, certamente.

Non ho capito a cosa serve la matrice del cambio base.

Si tratta di un metodo meccanicistico equivalente che andrebbe utilizzato solo se si sono compresi i concetti di base. Ad ogni modo, se la base di arrivo è uguale a quella di partenza:

${v_1,v_2,v_3}$

la matrice associata è:

$[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]]$

Se la base di arrivo è:

${v_2,v_3,v_1+v_2}$

la matrice associata è:

$[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]]^(-1)*[[0,0,1],[1,0,1],[0,1,0]]=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]$

[ciaomammalolmao]

Scusa ora che ci ripenso, noi il determinante non l’abbiamo ancora fatto, esiste un modo per dimostrare che l’insieme ${v_2,v_3,v_1+v_2}$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti senza usarlo?

[Noodles]

Mediante la definizione:

$[a*v_2+b*v_3+c*(v_1+v_2)=0] harr [a=b=c=0]$

sapendo che:

$[d*v_1+e*v_2+f*v_3=0] harr [d=e=f=0]$