Cambio coordinate e SDR

[castro]

Ciao a tutti. Volevo chiedervi un aiuto su un cambio sdr come in figura.
Purtroppo non ho trovato la sezione geometria più adatta e non vorrei essere finito in quella più universitaria però penso vada bene comunque, in ogni caso provo a esporvi il problema.

voglio passare da x,y ->x'y' e credo di incasinarmi con i segni

Mi spiego:

Se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O' farei questo ragionamento:

se a è la distanza nel riferimento $O$ tra O e O'
1) prendo $y'$ coordinata in $O'$ di D e notando che $y'>0$ scrivo $y'=-x-a$ ove $x$ è la coordinata di $D$ in $O$. Però notando che $x<0$ scrivo $-x$ (così è positiva), l'idea che ho è come come se avessi la componente del "vettore" $vecx$ nella base O e poi metto il meno per portarmi nella coordinata del vettore x in O'.
Il ragionamento del - davanti ad a è identico perché era assunta come coordinate nel sistema O, quindi nelle coordinate di O' $veca$ avrà componenti negative in valore: aggiungo il meno davanti e passo da O a O'.

2) invertendo la relazione ho che $x=-y'-a$ e sembra tornare perché qui invece ho $x$ (che ricordo essere negativa) uguale a $-y'$ ed è giusto perché $y'$ è positivo come valore (e infatti era dato in $O'$ dalla (1) ) e con il meno davanti che ho qui lo" trasformo" nel valore negativo che ha rispetto al riferimento $O$.
Anche $-a$ è negativa e mi pare la somma mi porti proprio a trovare il segmento $x$ voluto.
Quindi invertire 1) in 2) mantiene coerenza dei risultati con i vari meno davanti al posto giusto.

Tuttavia mi incasino un po' con questo ragionamento seguente:

se a è invece la distanza nel riferimento $O'$ tra O' e O (ora sarà positiva e quindi:)
1') $y'=-x+a$

da cui

2') $x=-y'+a$ e qui non mi torna tanto perchè ho $x$ che è la coordinata di D in O ed è ok, poi ho $-y'$ coordinata di D rispetto a O' ma trasformata in coordinata in O dato che ho il meno davanti. Però mi rimane $+a$ e questa è la coordinata di O rispetto a O' ma in O'! Non mantiene la coerenza. Mi sarei aspettato un legame su "a" che che sia però nel riferimento O e invece sono con +a ancora in O'!! Però così facendo sommo $-y'$ componente nel sdr O e poi $+a$ che è ancora la distanza nel sdr in O', mi aspetterei un $-a$


Vorrei chiedere due cose:
A) i ragionamenti fatti sono secondo voi giusti? Nel caso potreste gentilmente aiutarmi a correggerli?
B) come risolvo il dubbio sollevato in (2')?

Grazie mille per l'aiuto!

[sellacollesella]

voglio passare da x,y -> x'y' e credo di incasinarmi

Per non incasinarti, ruota attorno ad \(O\) e poi trasla \(O\) delle quantità desiderate: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos(90°) & -\sin(90°) \\
\sin(90°) & \cos(90°) \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
-a \\
0 \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-y'-a \\
x' \\
\end{bmatrix}.
\] Invertendo tale trasformazione geometrica piana si ottiene quanto richiesto: \[
\begin{cases}
x' = y \\
y' = -x-a \\
\end{cases}\,.
\] In particolare:

se io volessi legare la coordinata x e x' di D in O e O'

dato che in \(Oxy\) quel punto ha coordinate \((-d,0)\), allora in \(O'x'y'\) ha coordinate \((0,d-a)\).

Per fissare la idee definitivamente, assumiamo \(a=3\), \(d=5\) e animiamo la trasformazione:

[castro]

Ciao sellacollesella e grazie per la spiegazione. In realtà mi sembra chiaro quando hai detto però siccome sono ormai incuriosito, il mio ragionamento secondo te è sbagliatissimo? Cioè vorrei capire se formalmente è giusto per quando mi renda conto sia molto più scemo della tua spiegazione. E' una curiosità che vorrei togliermi.

[sellacollesella]

La mia risposta era più una mia comodità che altro, nel senso che facendo riferimento alle cosiddette trasformazioni geometriche piane ci si leva il pensiero una volta per tutte e buonanotte. D'altro canto, in casi particolarmente semplici come questo, dove è coinvolta una rotazione di un angolo retto, ci si può affidare a metodi artigianali guidati dall'intuito e fare a meno di formulazioni preconfezionate.

Pertanto, il tuo modo di procedere non è sbagliato di principio, piuttosto quello che ti manca è una strategia semplice e lineare che ti permetta di non incartarti. Quindi, il mio consiglio è di munirti di un bel foglio a quadretti e fissare subito un sistema di riferimento ortogonale \(Oxy\). Ciò fatto, evidenzierei un generico punto, diciamo per comodità \(P(2,3)\). A questo punto traccerei il secondo sistema di riferimento \(O'x'y'\), come quello mostrato da te all'inizio, dove, che ne so, scegliamo che sia \(\overline{OO'}=4\). In tal modo è facile notare che nel nuovo sistema di riferimento si ha \(P'(3,-6)\) e quindi possiamo intuire la trasformazione messa in atto: \[
\begin{cases}
x' = y \\
y' = -x-4 \\
\end{cases}.
\] Oppure, in modo ancora più facile, una volta tracciati i due sistemi di riferimento è sufficiente notare che:

• gli assi \(x'\) e \(y\) hanno stessa direzione e stesso verso, quindi \(x'=y\);
  
  
• gli assi \(y'\) e \(x\) hanno stessa direzione ma verso opposto, quindi \(y'=-x\);
  
  
• per via della traslazione di vettore \(\overline{O'-O}=(-4,0)\) si ottiene \(y'=-x-4\).

Scegli tu la strategia che più ti aggrada, l'importante è che sia di facile applicazione.

[castro]

[*] per via della traslazione di vettore \(\overline{O'-O}=(-4,0)\) si ottiene \(y'=-x-4\).[/list]

Non capisco però questo vettore traslazione è visto come componenti in O od O', c'è infatti una differenza perché ad es. un vettore (1,0) in O varrebbe (0,-1) in O'. Quindi quando valuto il vettore traslazione in quale sdr devo (scom)porlo?

se scrivo (-4,0) infatti immagino che x=-4 e y=0, tuttavia poi $y'=-x-4$, quindi qui sfrutto la componente -4 per sottrarla alla componenti si y'. Quindi è il vettore (0,-4) in O'. Insomma sono confuso

[sellacollesella]

La trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento \(Oxy\), ossia ruoto gli assi di 90° attorno a \(O\) e poi traslo \(O\) di vettore \((-4,0)\), ottenendo il sistema di riferimento \(O'x'y'\). Così, un punto che aveva coordinate \((x,y)\) (e che, bada bene, non si è mosso di una virgola) ora ha coordinate \((x',y')=(y,-x-4)\).

[castro]

Ti ringrazio per la risposta di cui ahimé mi accorgo solo ora perché non mi era arrivata la notifica come nelle altre e non avevo poi fatto l'accesso.


C'è comunque una cosa che forse ho spiegato male ma non ho del tutto appreso:
Chiamo O il primo sdr, O' quello ruotato e O'' quello roto-traslato

Ho capito intuitivamente che le nuove coordinate saranno $(x′',y′')=(y,−x−4)$, e mi torna. Tuttavia se sfrutto come dici tu il fatto che "la trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento Oxy, originario", se il vettore di traslazione è $O'-O=(−4,0)$ (con coordinate in O) non mi ci ritrovo perché dovrei avere la componente di traslazione $x_0=-4$ e $y_0=0$, però io vado a sottrarla a $y'$ evidentemente. E quindi mi sembra il vettore di traslazione non sia da vedersi in O ma O', infatti in tal modo $O'(0,+4)$ funzionerebbe sottratto alle componenti x' e y'. Non so se ho spiegato benissimo ma il punto è che se faccio prima la rotazione ho il vettore posizione $(x',y')=(y,-x)$ e quindi assumento il vettore $(−4,0)$ in O non posso sottrarlo impunemente al vettore di componente y' in O' dato che $y-(-4)=x''$ non mi dà il risultato voluto

[sellacollesella]

Non preoccuparti, questo Forum sta cadendo a pezzi, le notifiche sono gli ultimi dei problemi.

In ogni modo, se vogliamo ragionare in termini di trasformazioni geometriche elementari:

• ruotando gli assi di \(Oxy\) di 90° attorno ad \(O\) otteniamo \(O'x'y'\) relazionati da \((x',y')=(y,-x)\);
  
  
• traslando \(O'\) di vettore \(\overline{O''-O'} = (0,4)\) otteniamo \(O''x''y''\) relazionati da \((x'',y'')=(x',y'-4)\);

da cui ne consegue che \((x'',y'') = (y,-x-4)\), come volevasi dimostrare. Così ti aggrada?

[castro]

Scusami ma stavolta sono stato inghiottito dallo studio di altre materie e ho dovuto accantonare questo quesito. Finalmente ho un attimo di respiro.

[*] traslando \(O'\) di vettore \(\overline{O''-O'} = (0,4)\) otteniamo \(O''x''y''\) relazionati da \((x'',y'')=(x',y'-4)\);[/list] da cui ne consegue che \((x'',y'') = (y,-x-4)\), come volevasi dimostrare. Così ti aggrada?

Sì certo, però mi sembra confermare quello che dicevo nel messaggio precedente, nel senso che non posso usare O'−O=(−4,0) post rotazione ma devo ri-settarmi nel sdr ruotato e rivedere O'−O di conseguenza. Non posso usare le coordinate rispetto a Oxy.

In particolare mi riferisco a quando mi rispondevi:

La trasformazione geometrica è applicata al sistema di riferimento Oxy, ossia ruoto gli assi di 90° attorno a O e poi traslo O di vettore (−4,0)