Molteplicità intersezione di curve algebriche?

[Folpo13]

Come è effettivamente definita la molteplicità di intersezione di curve algebriche?

Il mio dubbio è abbastanza generale.

Supponendo di avere $F(x, y, z) = 0$ e $G(x, y, z) = 0$ curve algebriche in $RR$ con $F$ e $G$ polinomi di un certo grado.

La definizione di molteplicità di intersezione che mi è stata data di un punto $P$ è $m$ se $P$ è soluzione del sistema

$\{(F(x, y, z)=0),(G(x,y,z)=0):}$

e $m$ la molteplicità algebrica della soluzione.

Mi sembra una definizione circolare. O meglio non mi è chiarissimo cosa significhi che un certo punto è soluzione con una certa molteplicità di un sistema. Ad esempio mi è chiaro che $0$ ha molteplicità algebrica 2 in $x^2=0$ (e in generale per i polinomi: mi basta fattorizzare in termini lineari e il numero di termini con una certa radice mi dice la molteplicità di quella radice). Non mi è completamente chiaro invece come mai il punto $(0, 0)$ abbia molteplicità 2 nel sistema

$\{(x^2=0),(y=0):}$

Tranne forse per il fatto che è l'intersezione di una parabola e di una retta tangente al vertice. Ma anche qui mi sembra un cane che si morde la coda e né su internet né sul mio libro ho trovato una definizione che mi soddisfacesse.

Qualcuno mi sa aiutare?

[megas_archon]

Un modo di rispondere è la nozione di divisore.

[Folpo13]

Un modo di rispondere è la nozione di divisore.

Cosa intendi? Divisori dei polinomi?

[j18eos]

@Folpo13 Quanto conosci la teoria degli anelli commutativi unitari?

[Folpo13]

@Folpo13 Quanto conosci la teoria degli anelli commutativi unitari?

Direi livello algebra 1/algebra 2 a seconda dell'università. Conosco la divisione in UFD, PID e domini euclidei se è quello che implicitamente intendevi chiedere. Cioè so che i polinomi hanno fattorizzazione essenzialmente unica in $RR[x, y, z]$.

[megas_archon]

Un modo di rispondere è la nozione di divisore.

Cosa intendi? Divisori dei polinomi?

Hahaha no, ovviamente no. Il gruppo dei divisori dello spazio affine $n$-dimensionale \(A^n(K)\) è il gruppo libero generato dall'insieme \(\mathfrak V\) delle ipersuperficie $K$-razionali irriducibili di \(A^n(K)\). Si tratta cioè delle somme formali \(\sum_{V\in\mathfrak V} a_V V\) indiciate dalle ipersuperficie $K$-razionali irriducibili $V$ con i coefficienti quasi tutti nulli e la somma definita componente per componente.

[Folpo13]

Un modo di rispondere è la nozione di divisore.

Cosa intendi? Divisori dei polinomi?

Hahaha no, ovviamente no. Il gruppo dei divisori dello spazio affine $n$-dimensionale \(A^n(K)\) è il gruppo libero generato dall'insieme \(\mathfrak V\) delle ipersuperficie $K$-razionali irriducibili di \(A^n(K)\). Si tratta cioè delle somme formali \(\sum_{V\in\mathfrak V} a_V V\) indiciate dalle ipersuperficie $K$-razionali irriducibili $V$ con i coefficienti quasi tutti nulli e la somma definita componente per componente.

Ho solo vagamente capito qualcosina, molte di queste cose non le abbiamo ancora viste. Sono ancora al secondo anno della triennale, le curve algebriche a cui mi riferisco sono semplicemente le coniche (in spazio proiettivo nel mio caso). Comunque con il mio prof ho un po' chiarito quello che cercavo. Grazie comunque della risposta. Adesso sono parecchio incuriosito dagli argomenti che hai tirato fuori

[j18eos]

Riguardo all'esempio
\[
\begin{cases}
x^2=0\\
y=0
\end{cases}
\]
qual è la dimensione dello spazio vettoriale \(\mathbb{C}[x,y]/\left(x^2,y\right)\)?

[Folpo13]

Riguardo all'esempio
\[
\begin{cases}
x^2=0\\
y=0
\end{cases}
\]
qual è la dimensione dello spazio vettoriale \(\mathbb{C}[x,y]/\left(x^2,y\right)\)?

Se non mi sbaglio dovrebbe essere $<1, x>$ quindi 2

Quindi la molteplicità posso vederla come la dimensione dello spazio vettoriale dei polinomi sul campo, quozientato ai polinomi che pongo uguali a 0?

[j18eos]

In questo caso sì!

Più in generale, e scritto in maniera informale, bisogna passare agli anelli locali dei punti di intersezione, quozientare sull'ideale generato dai polinomi che determinano le curve che si intersecano, e calcolare la dimensione di questo spazio vettoriale.

Formalmente: devo aggiungere delle ipotesi, altrimenti quanto scritto di sopra non funziona!