Immagine di cammini chiusi in un rivestimento

[andreadel1988]

Sia $p:(\tilde X, \tilde x_0)->(X, x_0)$ un rivestimento connesso per archi e localmente connesso per archi. E' vero che presi $\gamma$ e $\gamma'$ due cammini continui in $\tilde X$ che partono da $\tilde x_0$ e arrivano in $\tilde x_0$ se sono gli stessi in $\pi_1(\tilde X, \tilde x_0)$ allora i cammini $p \circ \gamma$ e $p \circ \gamma'$ sono gli stessi in $\pi_1(X, x_0)$?

Dovrebbe essere falso poichè se considero il rivestimento universale di $S^1$, $p:(\mathbb{R}, 0)->(S^1, (1,0))$ con $p(t)=e^(2\piit)$, prendo $\gamma(t)=1_0(t)$ cammino costante in $0$ e $\gamma'(t)={(2t,if t\in[0,1/2]),(2(1-t),if t\in[1/2,1]):}$ si ha che $[\gamma(t)]=[\gamma'(t)]$ in $\pi_1(\RR, 0)$, però si ha che $p \circ \gamma(t)=1_{(1,0)}(t)$ cammino costante in $(1,0)$ e $p \circ \gamma'(t)$ è un cammino chiuso in $(1,0)$ che compie $2$ giri attorno a $S^1$, quindi $p \circ \gamma(t)$ e $p \circ \gamma'(t)$ non sono omotopi e quindi $[p \circ \gamma(t)]!=[p \circ \gamma'(t)]$ in $\pi_1(S^1, (1,0))$

Può andare bene?

[otta96]

No, il secondo cammino compie 2 giri ma in senso opposto, che si annullano.