Diffeomorfismo tra aperti di superfici

[andreadel1988]

E' vero che per ogni $S_1,S_2$ superfici in $RR^3$ esistono due aperti non vuoti $W_1\subseteqS_1$,$W_2\subseteqS_2$ che sono diffeomorfi?

Io ho fatto così:
Sia $S$ una superficie in $RR^3$ allora $AAp inS$ esiste $V$ intorno di $p$ in $RR^3$ con $\varphi:U\subseteqRR^2->SnnV$ parametrizzazione con $U$ aperto di $RR^2$. Sia $q in U$ tale che $\varphi(q)=p$, allora siccome $U$ è aperto $EEr>0$ tale che $B_r^2(q)$ palla aperta in $RR^2$ di raggio $r$ e centrata in $q$ tale che $B_r^2(q) sube U$, siccome $\varphi$ è un diffeomorfismo con l'immagine allora $\varphi_ {|_{B_r^2(q)}}:B_r^2(q)->Im\varphi_ {|_{B_r^2(q)}}sube S$ (la restrizione di un diffeomorfismo a un sottospazio del dominio è ancora un diffeomorfismo) è un diffeomorfismo e $Im\varphi_ {|_{B_r^2(q)}}$ è un aperto di $S$. Quindi prese due superfici $S_1,S_2$ in $RR^3$, consideriamo le due palle aperte in $RR^2$: $B_{r_1}^2(q_1)$ e $B_{r_2}^2(q_2)$ e poniamo $W_1=Im\varphi_ {|_{B_{r_1}^2(q_1)}}$ e $W_2=Im\varphi_ {|_{B_{r_2}^2(q_2)}}$, allora per quanto detto prima $W_1$ e diffoemorfo a $B_{r_1}^2(q_1)$ e $W_2$ è diffeomorfo a $B_{r_2}^2(q_2)$. Ma le palle aperte di $RR^2$ sono diffoemorfe tra loro quindi, $B_{r_1}^2(q_1)$ è diffeomorfa a $B_{r_2}^2(q_2)$, per cui $W_1$ e $W_2$ sono diffeomorfi (in quanto composizione di diffeomorfismi è un diffeomorfismo).

Può andar bene?

[otta96]

Non mi va di leggere tutto, ma ogni superficie ha un aperto diffeomorfo a $RR^2$.